精品解析：广西南宁市2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题

2022年春季学期期中质量检测试题八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 的结果是 （ ） A. B. C. D. 2 3. 在平行四边形中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. 2，， C. 9，12，15 D. 1，1， 6. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 11. 如图，中，M是中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：______． 14. 已知，则______． 15. 如图，中，，中线，则的长度是______． 16. 如图，在中，，，，则______． 17. 如图，矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，则的长为______． 18. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并相交于点．求证：． 23. 阅读下列材料，并解决相应问题：． 应用：用上述类似方法化简下列各式： （1）； （2）若a是的小数部分，求的值． 24. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）条件下，连接，．求证：四边形是菱形． 25. 如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点． （1）请判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求线段的长． 26. 综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 （1）请在图2中证明：四边形正方形． （2）请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． （3）请在图4中证明：是型三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年春季学期期中质量检测试题八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 2. 的结果是 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】此题考查二次根式的运算以及同类二次根式的定义；此题中因为，所以原式；所以选C； 3. 在平行四边形中，已知，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 4. 如图，在中，，是的平分线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到并且平分，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，是的平分线， 并且平分， 在中，， ． 5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. 2，， C. 9，12，15 D. 1，1， 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股数满足的正整数组验证即可． 【详解】解：A、由，，得，不是勾股数； B、和都不是正整数，不符合勾股数要求，，，不是勾股数； C、由，，得，且三个数均为正整数，符合勾股数定义； D、不是正整数，不符合勾股数要求，不是勾股数． 6. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义进行判定即可得到答案. 【详解】解：A、是最简二次根式，故A是最简二次根式； B、，故B选项不是最简二次根式； C、，故C选项不是最简二次根式； D、，故D选项不是最简二次根式； 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键在于能够熟练掌握最简二次根式的定义. 7. 如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 8. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除相关运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解:A、与不是同类二次根式，无法在加减运算中合并同类二次根式，所以错误； B、根据二次根式乘法运算法则可知，该选项运算正确； C、根据二次根式加法运算法则，运算错误； D、根据二次根式除法运算法则可知，该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除相关运算法则，熟练掌握二次根式相关运算公式是解决问题的关键． 9. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：在四边形中，， A、当时，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、， ， 又， ， 则表明， 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，必有，这是已知条件推导得到的必然结论，该条件没有提供新的有效信息，无法推出另一组对边平行或，即不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．延长交于点，证明，得到，，则为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：     ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 12. 如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方因数，再化简得到结果． 【详解】解：． 14. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用非负数的性质，即平方和算术平方根都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出与的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 将，代入得： . 15. 如图，中，，中线，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求出，再由勾股定理可得． 【详解】解：∵中，中线， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质，在中直接由勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则在中，． 17. 如图，矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，和垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得到，由垂直平分得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：矩形，， ， 垂直平分于点E， ， 在中，， 故答案为：． 18. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合得到，利用消元法消掉即可得到答案． 【详解】解：图2弦图是由八个全等的直角三角形拼接而成，令其中一个直角三角形的面积为，则 ， ， 由①-②得． 三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得出结果． 【详解】解： ． 20 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件可得c＞0，则a≥0，b≥0，再利用二次根式的乘除法的法则进行求解即可． 【详解】解：由题意得c＞0，a≥0，b≥0， ∴ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是明确c＞0，a≥0，b≥0和熟练运用二次根式的乘除法的法则． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式以及完全平方公式进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 22. 如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及题中条件即可得证． 【详解】证明：连接，如图所示： 互相平分，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∴， ∴． 23. 阅读下列材料，并解决相应问题：． 应用：用上述类似的方法化简下列各式： （1）； （2）若a是的小数部分，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行分母有理化化简即可； （2）判定无理数的取值范围，表示出的值，然后代入，利用平方差公式进行分母有理化化简． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题； （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，可得，可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图作法、平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 25. 如图，菱形的对角线相交于点，点分别是边的中点． （1）请判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）等腰三角形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形性质及点分别是边的中点判定均是的中位线，由三角形中位线的性质得到即可证明； （2）由菱形性质，先证得是等边三角形，得出长，进而在中，由勾股定理求出，得出长，最后由三角形中位线性质求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形， 证明如下： ∵四边形是菱形， ∴，， 点分别是边的中点，为中点， 均是的中位线， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：在菱形中，，，，， ∴， ， 是等边三角形，则， ∴， 在中，，则， ∵点分别是边的中点， 是的中位线， 则． 26. 综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 （1）请在图2中证明：四边形是正方形． （2）请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． （3）请在图4中证明：是型三角形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质得，，先证明四边形是矩形，再由得到结论； （2）连接，由折叠得到，根据正方形的定义得到，证明，即可得到结论； （3）由折叠得：，设，则，在中，，解得，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：矩形纸片， ， 由折叠的性质得，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：， 连接，由折叠得到， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 证明：四边形是正方形， 由折叠得：， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故是型三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $