8.3.2 独立性检验(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.3.2　独立性检验 1.下列对两个分类变量A，B的说法中正确的个数为（　　） ①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据. A.0 B.1 C.2 D.3 2.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（　　） A.0.1% B.1% C.99% D.99.9% 3.在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的倍数为（　　） A.8 B.4 C.2 D.不变 4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 5.〔多选〕（2025·烟台一中高二月考）关于统计量χ2，下列说法正确的是（　　） A.统计量χ2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B.若求出统计量χ2＝6.31，由于6.31比较接近x0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C.独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D.根据统计量χ2的构造过程可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大 6.〔多选〕有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示， X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值可以为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 7.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示： 剂量 小白鼠 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 进行独立性检验的零假设是　　　　　　，χ2≈　　　　　　.（结果保留两位小数） 8.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据α＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取的整数值为　　　　. 附表： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 9.两个分类变量X和Y的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 附： α 0.05 0.025 xα 3.841 5.024 10.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有　　　　人. 参考数据及公式： χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 11.在某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表： 性别 心理障碍 合计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 合计 25 20 65 110 则在这三种心理障碍中　　　　与性别关系最大. 12.某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如图所示的两个等高堆积条形图，其中被调查的男、女学生比例为3∶2. （1）求m，n的值（结果用分数表示）； （2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？ 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 女 合计 附临界值表及参考公式： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　独立性检验 1.B　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，由等高堆积条形图也可判定A与B是否相关.故选B. 2.B　∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%. 3.C　由公式χ2＝ 中所有值变为原来的2倍，得（χ2）'＝＝＝2·＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍.故选C. 4.B　因为α＝0.05时xα＝3.841，所以χ2＝3.974＞xα＝3.841，所以变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B. 5.CD　对于选项A，统计量χ2的值越大，两个分类变量相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误；对于选项B，因为χ2＝6.31＜6.635，在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误；对于选项C，根据独立性检验思想可知，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确；对于选项D，根据独立性检验思想可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大，故D正确.故选C、D. 6.CD　由列联表中数据，得χ2＝＝＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，a∈Z，解得a＝8或a＝9.故选C、D. 7.小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关　5.33　解析：由列联表中的数据得χ2＝≈5.33. 8.6　解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6. 9.A　列2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 10 21 31 x2 c d 35 合计 10＋c 21＋d 66 故χ2＝≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可知选A. 10.12　解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 性别 是否追星 合计 追星 不追星 男生 x 女生 合计 x 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝＝x≥3.841，解得x≥10.24，因为，，均为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 11.说谎　解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量，，.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否焦虑 合计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 合计 25 85 110 零假设为H0：焦虑与性别无关.可得＝≈0.863＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为焦虑与性别无关.同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表： 性别 是否说谎 合计 说谎 不说谎 女生 10 20 30 男生 10 70 80 合计 20 90 110 ＝≈6.366＞3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为说谎与性别有关.同理得＝≈1.410＜2.706＝x0.1.依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为懒惰与性别无关.综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 12.解：（1）由题可知被调查的男、女学生分别为600人，400人， 男生有飞天宇航梦的有600×0.7＝420人，无飞天宇航梦的有600×0.3＝180人， 女生有飞天宇航梦的有400×0.6＝240人，无飞天宇航梦的有400×0.4＝160人， 所以m＝＝，n＝＝. （2）根据（1）中数据填表， 性别 有无飞天宇航梦 合计 有飞天宇航梦 无飞天宇航梦 男 420 180 600 女 240 160 400 合计 660 340 1 000 零假设为H0：学生性别和是否有飞天宇航梦无关.根据列联表中数据， 可得χ2＝＝≈10.695＜10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为学生性别和是否有飞天宇航梦无关. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $