8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第一课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1.在有线性相关关系的两个变量建立的经验回归方程＝＋x中，（　　） A.不能小于0 B.不能大于0 C.不能等于0 D.只能小于0 2.已知某经验回归方程为＝2－3x，则当解释变量增加1个单位时，响应变量平均（　　） A.增加3个单位 B.增加个单位 C.减少3个单位 D.减少个单位 3.用最小二乘法得到一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）的经验回归方程为＝2x＋3，若xi＝30，则yi＝（　　） A.11　　　B.13 C.63　　　D.78 4.经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 5 6 8 由表中数据，求得经验回归方程为＝x＋，若小明同学的记忆能力为15，则可预测其识图能力为（　　） A.8 B.9.6 C.11.2 D.11.9 5.〔多选〕数据（x，y）的5组测量值（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5），已知＝90，xiyi＝112，xi＝20，yi＝25.若y对x的经验回归方程记作＝x＋，则（　　） A.＝1.2 B.＝0.2 C.y与x正相关 D.x＝8时，y的估计值为9 6.如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为＝x＋1，则＝　　　　. 7.为了研究某班学生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为＝x＋，已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为　　　　cm. 8.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，＝720. （1）求家庭的月储蓄y与月收入x的经验回归方程＝x＋； （2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：经验回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值. 9.根据以下样本数据 x 1 3 5 7 y 6 4.5 3.5 2.5 得到经验回归方程为＝x＋.则（　　） A.＜0，＜0 B.＞0，＞0 C.＜0，＞0 D.＞0，＜0 10.〔多选〕已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验.试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为＝3x＋4.5，且＝4，又增加了2次试验，得到2个数据点（2，11），（6，22），根据这10个数据点重新求得经验回归方程为＝mx＋n（其中m，n∈R），则（　　） A.变量y与x正相关 B.m＜3 C.n＜4.5 D.经验回归直线＝mx＋n经过点（4，16.5） 11.〔多选〕月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时间”，单位：小时）与天数x（x为阴历日数，x∈N*，且0≤x≤30）的有关数据如表，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为＝0.8x＋. x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才升起.则（　　） A.经验回归直线过点（10，14.4） B.＝6.8 C.预测月出时间为16时的那天是阴历13日 D.预测阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 12.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：h）与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为　　　　；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为　　　　. 13.一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果： 转速x（转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y（件） 11 9 8 5 （1）画出散点图； （2）如果y与x有线性相关的关系，求经验回归方程； （3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留一位小数） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2　一元线性回归模型及其应用 第一课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1.C　当＝0时，不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0. 2.C　依题意，经验回归方程为＝2－3x，所以当解释变量增加1个单位时，响应变量平均减少3个单位.故选C. 3.D　依题意，因为xi＝30，所以＝＝5，因为经验回归方程＝2x＋3一定过点（，），所以＝2＋3＝2×5＋3＝13，所以yi＝6×13＝78.故选D. 4.D　由表中数据可得，＝×（4＋6＋8＋10）＝7，＝×（3＋5＋6＋8）＝5.5，又经验回归方程为＝x＋，则5.5＝×7＋，解得＝－0.1，故＝x－，当x＝15时，＝×15－＝11.9.故选D. 5.ABC　由已知的数据可得＝xi＝4，＝yi＝5，＝＝＝＝1.2，＝－＝5－1.2×4＝0.2，所以经验回归方程为＝1.2x＋0.2.因为＝1.2＞0，所以y与x正相关.当x＝8时，＝1.2×8＋0.2＝9.8.故A、B、C选项正确，D选项错误. 6.0.8　解析：由题图知＝＝2，＝＝2.6，将（2，2.6）代入＝x＋1中，解得＝0.8. 7.166　解析：由题意可知＝4x＋，又＝22.5，＝160，∴160＝22.5×4＋，得＝70，因此＝4x＋70.当x＝24时，＝4×24＋70＝96＋70＝166. 8.解：（1）由题意，知n＝10，＝xi＝＝8，＝yi＝＝2， 又－10＝720－10×82＝80， xiyi－10 ＝184－10×8×2＝24，则＝＝0.3， ＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为＝0.3x－0.4. （2）由于变量y的值随x值的增加而增加（＝0.3＞0），故x与y之间是正相关. （3）将x＝7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7（千元）. 9.D　由表中数据可得随着x的增大，y越来越小，所以＜0，又因为当x＝1时，y＝6，所以当x＝0时，y＞6，所以＞0，故选D. 10.ABD　设A（2，11），B（6，22），由kAB＝＜3，而8个数据点的经验回归方程中＝3，∴0＜m＜3，A、B正确；10个数据点的'＝＝4，'＝＝16.5，∴经验回归直线过定点（4，16.5），则16.5＝4m＋n，n＝16.5－4m，0＜m＜3，0＜4m＜12，－12＜－4m＜0，4.5＜16.5－4m＜16.5，即4.5＜n＜16.5，∴D正确，C错误. 11.AD　＝＝10，＝＝14.4，故经验回归直线过点（10，14.4），选项A正确；将点（10，14.4）代入＝0.8x＋，得＝6.4，B错误；∵＝0.8x＋6.4，当y＝16时，x＝12，∴月出时间为阴历12日，选项C错误；∵阴历27日时，即x＝27，代入得＝0.8×27＋6.4＝28，∴日出时间应该为28日早上4：00，选项D正确. 12.0.5　0.53　解析：小李这5天的平均投篮命中率＝×（0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4）＝0.5，＝3，计算得＝＝0.01，＝－＝0.5－0.03＝0.47.∴经验回归方程为＝0.01x＋0.47，则当x＝6时，＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 13.解：（1）画出散点图，如图所示. （2）∵＝12.5，＝8.25，xiyi＝438，＝660， ∴＝ ＝≈0.728 6， ＝－≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故经验回归方程为＝0.728 6x－0.857 5. （3）要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，得x＜14.901 9. 故机器的转速应控制在14.9转/秒及以下. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $