7.3.1 离散型随机变量的均值(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.3.1　离散型随机变量的均值 1.已知随机变量X满足P（X＝1）＝0.3，P（X＝0）＝0.7，则E（X）＝（　　） A.0.3 B.0.7 C.0.21 D.1 2.设随机变量X的概率分布如表所示，且E（X）＝1.6，则a－b＝（　　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.－0.4 B.－0.2 C.0.1 D.0.2 3.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　） A. B. C.2 D. 4.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的均值是（　　） A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24 5.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（　　） A.39元 B.37元 C.20元 D.元 6.〔多选〕设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 q 0.3 0.4 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　） A.q＝0.3 B.q＝0.2 C.E（X）＝3 D.E（Y）＝5 7.〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　） A.p∈［0，］ B.E（X）最大值为 C.p∈［0，］ D.E（X）最大值为 8.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则P（X＝1）＝　　　　. 9.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益为　　　　元. 10.从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 11.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（　　） A.　　　B.　　　C.1　　　D. 12.〔多选〕已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b a＋b 则E（X）的可能取值有（　　） A.0 B. C. D.2 13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金　　　　元. 14.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设生产1件产品的利润（单位：万元）为X. （1）求X的分布列； （2）求生产1件产品的平均利润（即X的均值）. 15.某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题选对得20分，选错得0分；②多选题选对得30分，选对但不全得10分，有选错的得0分；③每名竞赛参与者答题3道.学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3. （1）若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； （2）如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 1.A　根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E（X）＝0.3. 2.B　由题意得0.1＋a＋b＋0.1＝1，0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，解得a＝0.3，b＝0.5，故a－b＝0.3－0.5＝－0.2.故选B. 3.D　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝2×＋3×＝. 4.D　由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的均值E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24. 5.B　设这台机器获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下， ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B. 6.BD　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D. 7.AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望值E（X）＝0×（ －p）＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝. 8.　解析：设P（X＝1）＝p，因为P（X＝0）＝，E（X）＝1，故0×＋1×p＋2×（1－－p）＝1，所以p＋－2p＝1，解得p＝. 9.2 200　解析：出海的期望效益为5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）. 10.解：由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P（X＝2）＝＝； 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球， ∴P（X＝3）＝＝； 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， ∴P（X＝4）＝＝； 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球， ∴P（X＝5）＝＝. ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P ∴E（X）＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 11.D　∵＝××，∴t＝3（t＝－3舍去）.ξ的所有可能取值为0，1，2，其分布列如下， ξ 0 1 2 P ∴E（ξ）＝＋2×＝. 12.BC　由分布列的性质可得且a＋b＋（a＋b）＝1，则a＋b＝，所以a＝－b，则0≤－b≤1.又0≤b≤1，所以0≤b≤.因为E（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b）＝1＋b，所以1≤E（X）≤，所以E（X）可取和. 13.100　解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E（X）＝800×＋0×＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）. 14.解：（1）X的所有可能取值有6，2，1，－2， P（X＝6）＝＝0.63，P（X＝2）＝＝0.25， P（X＝1）＝＝0.1，P（X＝－2）＝＝0.02. 故X的分布列为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）E（X）＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋（－2）×0.02＝4.34（万元）. 15.解：（1）由题意知，随机变量X的取值可能是0，20，40，60， 可得P（X＝0）＝0.2×0.2×0.2＝0.008， P（X＝20）＝0.8×0.2×0.2＋0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8＝0.096， P（X＝40）＝0.8×0.8×0.2＋0.8×0.2×0.8＋0.2×0.8×0.8＝0.384， P（X＝60）＝0.8×0.8×0.8＝0.512， 则变量X的分布列如表所示， X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为E（X）＝0＋20×0.096＋40×0.384＋60×0.512＝48. （2）若该学生选择方案二，记得分为变量Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，40，50，70， 可得P（Y＝0）＝0.3×0.2×0.2＝0.012， P（Y＝10）＝0.3×0.2×0.2＝0.012， P（Y＝20）＝0.3×0.8×0.2×2＝0.096， P（Y＝30）＝0.3×0.8×0.2×2＋0.4×0.2×0.2＝0.112， P（Y＝40）＝0.3×0.8×0.8＝0.192， P（Y＝50）＝0.3×0.8×0.8＋0.4×0.8×0.2×2＝0.32， P（Y＝70）＝0.4×0.8×0.8＝0.256， 则变量Y的分布列为： Y 0 10 20 30 P 0.012 0.012 0.096 0.112 Y 40 50 70 P 0.192 0.32 0.256 所以期望为E（Y）＝0×0.012＋10×0.012＋20×0.096＋30×0.112＋40×0.192＋50×0.32＋70×0.256＝47. 结合（1）知E（X）＞E（Y）， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $