6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　组合的综合应用 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　） A.14 B.24 C.28 D.48 2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有（　　） A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 3.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为（　　） A.30 B.42 C.54 D.56 4.2025年3月5日是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（　　） A.8　　　B.12 C.14　　　D.20 5.某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（　　） A.10种 B.60种 C.120种 D.125种 6.〔多选〕某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（　　） A.若1班不再分配名额，则共有种分配方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 7.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有　　　　种. 8.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有　　　　种不同的选法. 9.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有　　　　种. 10.某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动. （1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？ 11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（　　） A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100分；选乙题者答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是　　　　. 13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有　　　　种（用数字作答）. 14.已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点. （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？ 15.一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球. （1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有多少种？ （2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　组合的综合应用 1.A　用间接法得不同选法有－＝14（种），故选A. 2.A　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有＋＝210（种）. 3.B　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为－－＝42. 4.C　将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有＝8（种），②两所敬老院各安排两名志愿者，则有＝6（种），故共有8＋6＝14（种）方案.故选C. 5.D　5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有＝5（种）；5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有＝60（种）；5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有＝60（种）.所以不同的选择方法有5＋60＋60＝125（种）.故选D. 6.BD　若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126（种），故C错误，D正确.故选B、D. 7.56　解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有＝56（种）排法. 8.714　解析：若只有1名队长入选，则选法种数为·；若两名队长均入选，则选法种数为，故不同选法有·＋＝714（种）. 9.180　解析：6位游客选2人去A风景区，有种，余下4位游客选2人去B风景区，有种，余下2人去C，D风景区，有种，所以分配方案共有＝180（种）. 10.解：（1）根据题意，在5名男生中任选2人，有＝10（种）选法，在5名女生中任选2人，有＝10（种）选法，则4人中男生、女生各2人的选法有10×10＝100（种）. （2）根据题意，在10人中任选4人，有种选法，若甲、乙都没有参加，有种选法，则有－＝140（种）符合题意的选法. （3）根据题意，在10人中任选4人，有种选法，只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则既有男生又有女生的选法有－－＝200（种）. 11.D　此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点有＝126（个）. 12.36　解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲题，2人答对，2人答错，有种情况；②4人都选择答乙题，2人答对，2人答错，有种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人答乙题且1人对1人错，有×2×2种情况.综上，共有＋＋×2×2＝6＝36（种）情况. 13.36　解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有种.所以满足条件的分配方案有·＝36（种）. 14.解：（1）所作出的平面有三类： ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有·个. ②α内2点，β内1点确定的平面，最多有·个. ③α，β本身，有2个. 故所作的平面最多有·＋·＋2＝98（个）. （2）所作的三棱锥有三类： ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有·个. ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有·个. ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有·个. 故最多可作出的三棱锥有·＋·＋·＝194（个）. （3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋·＝114（个）.故最多有114个体积不同的三棱锥. 15.解：（1）从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，可分三类： 第一类，红球取4个时，有种方法； 第二类，红球取3个、白球取1个时，有种方法； 第三类，红球取2个、白球取2个时，有种方法. 由分类加法计数原理可知，共有＋＋＝115（种）取法. （2）设取红球x个、白球y个，依题意知，且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得或或这样使总分不少于7的取法可以分为三类： 第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为； 第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为； 第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为. 由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法＋＋＝186（种）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $