7.3.2 离散型随机变量的方差(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，从射击选手选拔实例出发，通过对比均值局限性引出方差概念，系统梳理方差与标准差的定义、计算步骤，结合方差性质（如D(aX+b)=a²D(X)），构建从概念理解到性质应用的完整学习支架。 该资料以真实情境（射击比赛、投资决策）驱动教学，通过问题链引导学生用数学眼光发现稳定性问题，借助分布列计算与性质推理培养数学思维，结合例题（旅游团线路选择）与训练题提升数学语言表达能力。课中助力教师分层教学，课后练习题与小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

7.3.2　离散型随机变量的方差 课标要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念（数学抽象）. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题（数学建模、数学运算）. 3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差（数学运算）. 知识点一｜离散型随机变量的方差 问题1　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X的分布列为 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 第二名同学击中目标靶的环数Y的分布列为 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 （1）能否根据X和Y的均值来决定派哪名同学参赛？ （2）怎样来衡量他们发挥的稳定性呢？ 【知识梳理】 1.定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）. 2.标准差：称　　　　为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 　　提醒：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 【例1】　（链接教材P69例5）某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，求选择a线路的旅游团数X的方差D（X）. 【规律方法】 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 （1）理解X的意义，写出X的可能取值； （2）写出X的分布列； （3）由均值的定义求出E（X）； （4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）. 训练1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的方差. 知识点二｜方差的性质 问题2　我们知道若X是离散型随机变量，则Y＝X＋b（b是常数）也是随机变量，利用方差的含义你能推理出D（X）与D（X＋b）的关系吗？D（X）与D（aX）的关系呢？ 【知识梳理】 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X＋b）＝　　　； （2）D（aX＋b）＝　　　； （3）若X服从两点分布，则D（X）＝　　　； （4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2. 【例2】　已知随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； （2）求X的方差； （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 【规律方法】 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解. 训练2　已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b 若E（X）＝，则a＝　　　　　，D（3X－1）＝　　　　. 提能点｜方差的应用 【例3】　（链接教材P69例6）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求ξ，η的分布列； （2）求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 【规律方法】 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高； （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定； （3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论. 训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即均值）也相等. （1）求a，b，c的值； （2）若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 1.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（　　） X 1 2 3 P A.　　　B.1　　　C.　　　D. 2.设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P（A）＝m，令随机变量X＝则X的方差D（X）等于（　　） A.m B.2m（1－m） C.m（m－1） D.m（1－m） 4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E（ξ）＝　　　　，D（ξ）＝　　　　. 课堂小结 1.理清单 （1）离散型随机变量的方差； （2）方差的性质； （3）方差的应用. 2.应体会 研究方差的性质及利用方差的性质解决问题时要注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 方差公式套用错误，混淆方差的概念. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2　离散型随机变量的方差 【例1】　解：由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝， D（X）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＋（ 3－）2×＝×＋×＋×＋×＝. 训练1　解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2. 则P（ξ＝0）＝×＝，P（ξ＝1）＝×＋×＝，P（ξ＝2）＝×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝， D（ξ）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＝. 【例2】　解：（1）由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）由（1）知a＝，所以E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－. 故D（X）＝（ －1＋）2×＋（ 0＋）2×＋（ 1＋）2×＝. （3）由（2）知E（X）＝－，D（X）＝， 所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（ －）＋3＝2， D（Y）＝16D（X）＝11. 训练2　　5 　解析：由题意可得解得因此，D（X）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＝，即D（3X－1）＝9D（X）＝5. 【例3】　解：（1）依题设，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 所以4a＝0.4，则a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）结合（1）中ξ，η的分布列， 可得E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96， D（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21. 因为E（ξ）＞E（η），说明甲平均射中的环数比乙高. 又因为D（ξ）＜D（η），说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定. 所以甲的射击技术好， 应选拔甲. 训练3　解：（1）依题意得，＋＋a＝1，解得a＝. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以E（X1）＝0.4x×＋（－0.2x）×＋0×＝0.2x， E（X2）＝0.3bx－0.1cx， 因为E（X1）＝E（X2）， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2. ① 又b＋c＝1， ② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. （2）选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由（1）知x＝100， 所以E（X1）＝E（X2）＝20， D（X1）＝（40－20）2×＋（－20－20）2×＋（0－20）2×＝600， D（X2）＝（30－20）2×＋（－10－20）2×＝300. 因为E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2），说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 随堂检测 1.C　由题意得E（X）＝1×＋2×＋3×＝，所以D（X）＝（ 1－）2×＋（ 2－）2×＋（ 3－）2×＝.故选C. 2.C　因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C. 3.D　由题意得X服从两点分布，P（X＝1）＝m，P（X＝0）＝1－m，所以D（X）＝m（1－m）. 4.1　1　解析：ξ的所有可能取值为0，1，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝3）＝＝.所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1，D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1. 7.3.2　离散型随机变量的方差 问题1　（1）提示：E（X）＝8，E（Y）＝8，均值相等.不能根据X和Y的均值决定选派人员. （2）提示：样本方差反映了样本数据与样本均值的偏离程度，可刻画样本数据的稳定性.因此随机变量的方差和标准差可刻画随机变量的稳定性. 知识梳理 1.（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn　（xi－E（X））2pi 2. 问题2　提示：因为离散型随机变量X加上一个数b，其均值相应加上数b，故不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即方差D（X＋b）＝D（X），D（aX）＝a2D（X）. 知识梳理 （1）D（X）　（2）a2D（X）　（3）p（1－p） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $