7.3.2 离散型随机变量的方差(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，前承随机变量均值（反映集中趋势），通过具体实例（如射击比赛选手发挥稳定性比较）引出方差概念，系统构建方差的定义、标准差、性质（如D(aX+b)=a²D(X)）及计算方法，形成完整的随机变量数字特征学习支架。 资料以情境导入激发探究欲，通过问题链引导学生从数学角度观察现实（如射击稳定性问题），在计算与推理中培养数学运算和逻辑思维（如方差性质推导）。例题与训练题结合实际（旅游线路选择、投资项目分析），强化数学建模与应用意识，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾总结，查漏补缺。

7.3.2　离散型随机变量的方差 课标要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念（数学抽象）. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题（数学建模、数学运算）. 3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差（数学运算）. 　　 情境导入 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 知识点一｜离散型随机变量的方差 问题1　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X的分布列为 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 第二名同学击中目标靶的环数Y的分布列为 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 （1）能否根据X和Y的均值来决定派哪名同学参赛？ 提示：E（X）＝8，E（Y）＝8，均值相等.不能根据X和Y的均值决定选派人员. （2）怎样来衡量他们发挥的稳定性呢？ 提示：样本方差反映了样本数据与样本均值的偏离程度，可刻画样本数据的稳定性.因此随机变量的方差和标准差可刻画随机变量的稳定性. 【知识梳理】 1.定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们称D（X）＝　（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn　＝　（xi－E（X））2pi　为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）. 2.标准差：称　　为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 　　提醒：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 【例1】　（链接教材P69例5）某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，求选择a线路的旅游团数X的方差D（X）. 解：由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝， D（X）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＋（ 3－）2×＝×＋×＋×＋×＝. 【规律方法】 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 （1）理解X的意义，写出X的可能取值； （2）写出X的分布列； （3）由均值的定义求出E（X）； （4）利用公式D（X）＝（xi－E（X））2pi求出D（X）. 训练1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的方差. 解：乙投篮的次数ξ的可能取值为0，1，2. 则P（ξ＝0）＝×＝，P（ξ＝1）＝×＋×＝，P（ξ＝2）＝×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝， D（ξ）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＝. 知识点二｜方差的性质 问题2　我们知道若X是离散型随机变量，则Y＝X＋b（b是常数）也是随机变量，利用方差的含义你能推理出D（X）与D（X＋b）的关系吗？D（X）与D（aX）的关系呢？ 提示：因为离散型随机变量X加上一个数b，其均值相应加上数b，故不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即方差D（X＋b）＝D（X），D（aX）＝a2D（X）. 【知识梳理】 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X＋b）＝　D（X）　； （2）D（aX＋b）＝　a2D（X）　； （3）若X服从两点分布，则D（X）＝　p（1－p）　； （4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2. 【例2】　已知随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； 解：（1）由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）求X的方差； 解：（2）由（1）知a＝，所以E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－. 故D（X）＝（ －1＋）2×＋（ 0＋）2×＋（ 1＋）2×＝. （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解：（3）由（2）知E（X）＝－，D（X）＝， 所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（ －）＋3＝2， D（Y）＝16D（X）＝11. 【规律方法】 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解. 训练2　已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b 若E（X）＝，则a＝　　　，D（3X－1）＝　5　. 解析：由题意可得解得因此，D（X）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＝，即D（3X－1）＝9D（X）＝5. 提能点｜方差的应用 【例3】　（链接教材P69例6）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求ξ，η的分布列； （2）求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 解：（1）依题设，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 所以4a＝0.4，则a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）结合（1）中ξ，η的分布列， 可得E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96， D（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21. 因为E（ξ）＞E（η），说明甲平均射中的环数比乙高. 又因为D（ξ）＜D（η），说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定. 所以甲的射击技术好， 应选拔甲. 【规律方法】 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高； （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定； （3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论. 训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即均值）也相等. （1）求a，b，c的值； 解：（1）依题意得，＋＋a＝1，解得a＝. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以E（X1）＝0.4x×＋（－0.2x）×＋0×＝0.2x， E（X2）＝0.3bx－0.1cx， 因为E（X1）＝E（X2）， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2.　① 又b＋c＝1，　② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. （2）若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：（2）选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由（1）知x＝100， 所以E（X1）＝E（X2）＝20， D（X1）＝（40－20）2×＋（－20－20）2×＋（0－20）2×＝600， D（X2）＝（30－20）2×＋（－10－20）2×＝300. 因为E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2），说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 1.已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（　　） X 1 2 3 P A.　　　　　　　　　　B.1 C. D. 解析：C　由题意得E（X）＝1×＋2×＋3×＝，所以D（X）＝（ 1－）2×＋（ 2－）2×＋（ 3－）2×＝.故选C. 2.设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：C　因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C. 3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P（A）＝m，令随机变量X＝则X的方差D（X）等于（　　） A.m B.2m（1－m） C.m（m－1） D.m（1－m） 解析：D　由题意得X服从两点分布，P（X＝1）＝m，P（X＝0）＝1－m，所以D（X）＝m（1－m）. 4.编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E（ξ）＝　　1　　，D（ξ）＝　1　. 解析：ξ的所有可能取值为0，1，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝3）＝＝.所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E（ξ）＝0×＋1×＋3×＝1，D（ξ）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（3－1）2＝1. 课堂小结 1.理清单 （1）离散型随机变量的方差； （2）方差的性质； （3）方差的应用. 2.应体会 研究方差的性质及利用方差的性质解决问题时要注意转化与化归思想的应用. 3.避易错 方差公式套用错误，混淆方差的概念. 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：B　∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 2.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥D（X））＝（　　） X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 解析：A　由题意得E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，D（X）＝（0－2）2×＋（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝1，故P（X≥D（X））＝P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝. 3.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3ξ＋5）＝（　　） A.6　　　　B.9 C.3　　　　D.4 解析：A　由题可得，E（ξ）＝×（1＋2＋3）＝2，∴D（ξ）＝[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，D（3ξ＋5）＝32×D（ξ）＝6，故选A. 4.随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量Y＝aX＋b（a，b＞0），且E（Y）＝10，D（Y）＝4，则a与b的值为（　　） A.a＝10，b＝3 B.a＝3，b＝10 C.a＝5，b＝6 D.a＝6，b＝5 解析：C　因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，由两点分布，知E（X）＝0.8，D（X）＝0.8×0.2＝0.16.因为Y＝aX＋b（a，b＞0），E（Y）＝10，D（Y）＝4，所以aE（X）＋b＝0.8a＋b＝10①，a2D（X）＝0.16a2＝4②.解得a＝5，b＝6. 5.甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断（　　） 表一 X 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 Y 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析：B　由分布列可求甲的次品数的均值为E（X） ＝0×0.7＋1×0＋2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E（Y）＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，D（X）＝（0－0.7）2×0.7＋（1－0.7）2×0＋（2－0.7）2×0.2＋（3－0.7）2×0.1＝1.21，D（Y）＝（0－0.7）2×0.6＋（1－0.7）2×0.2＋（2－0.7）2×0.1＋（3－0.7）2×0.1＝1.01，E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以乙比甲质量好. 6.〔多选〕已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则（　　） A.X的可能取值为0，1 B.X服从两点分布 C.E（X）＝1 D.D（X）＝ 解析：ABD　由已知得X的可能取值为0，1，且服从两点分布.P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝＋×＝，∴E（X）＝0×＋1×＝，D（X）＝×＋×＝. 7.〔多选〕已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝－x.若0＜x＜，则（　　） A.E（ξ）随着x的增大而增大 B.E（ξ）随着x的增大而减小 C.D（ξ）随着x的增大而增大 D.D（ξ）随着x的增大而减小 解析：BD　∵随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝x，P（ξ＝2）＝－x，0＜x＜，∴E（ξ）＝x＋－2x＝－x，D（ξ）＝×＋×x＋×＝－x2－x＋＝－＋，∴E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小.故选B、D. 8.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D（X）＝　　　　. 解析：X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝，D（X）＝（ 0－）2×＋（ 1－）2×＋（ 2－）2×＝. 9.已知盒子中装有n（n＞1，n∈N*）个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如下表所示，则D（X）＝　　　　. X 0 1 2 P a b 解析：由分布列可得a＋b＝，P（X＝1）＝＝，所以n＝2，又P（X＝0）＝＝＝a，所以b＝，进而可得E（X）＝＋2b＝1，故D（X）＝（0－1）2a＋（1－1）2×＋（2－1）2b＝a＋b＝. 10.已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P （1）求η的方差； （2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）. 解：（1）∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384. （2）∵Y＝2η－E（η）， ∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1 536. 11.已知随机变量ξi，满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（　　） A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 解析：A　因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）（1－p1－p2）＜0，故选A. 12.已知随机变量ξ的分布列如下表所示（其中0＜a＜），则D（ξ）的最大值为（　　） ξ 0 1 2 P b－a b a A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：B　由题意，知b－a＋b＋a＝2b＝1，即b＝.所以E（ξ）＝0·（b－a）＋b＋2a＝2a＋，所以D（ξ）＝（0－2a－）2（b－a）＋（1－2a－）2b＋（2－2a－）2a＝－4a2＋2a＋＝－4（a－）2＋.又0＜a＜，所以当a＝时，D（ξ）有最大值. 13.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P（X＝0）＝，则D（X）＝　　　　. 解析：由P（X＝0）＝知，×（1－p）2＝，得p＝（ p＝舍去），由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0，1，2，3，P（X＝1）＝×（ 1－）2＋××（ 1－）＋×（ 1－）×＝，P（X＝2）＝××（ 1－）＋×（ 1－）×＋××＝，P（X＝3）＝×（ ）2＝，所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以D（X）＝×（ 0－）2＋×（ 1－）2＋×（ 2－）2＋×（ 3－）2＝. 14.有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1（元） 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2（元） 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得 E（X1）＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400（元）， D（X1）＝（1 200－1 400）2×0.4＋（1 400－1 400）2×0.3＋（1 600－1 400）2×0.2＋（1 800－1 400）2×0.1＝40 000； E（X2）＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400（元）， D（X2）＝（1 000－1 400）2×0.4＋（1 400－1 400）2×0.3＋（1 800－1 400）2×0.2＋（2 200－1 400）2×0.1＝160 000. 因为E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2）， 所以两家单位的工资数学期望相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散，故选择甲单位. 15.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 解：（1）由题意得，随机变量X的可能取值为200，300，500， 可得P（X＝200）＝＝0.2，P（X＝300）＝＝0.4，P（X＝500）＝＝0.4， 所以随机变量X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， 所以只需考虑200≤n≤500， 当300＜n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300＋2（n－300）－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n， 所以E（Y）＝2n×0.4＋（1 200－2n）×0.4＋（800－2n）×0.2＝640－0.4n. 当200≤n≤300时， 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n， 所以E（Y）＝2n×（0.4＋0.4）＋（800－2n）×0.2＝160＋1.2n， 所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $