7.3.1 离散型随机变量的均值(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，从具体实例（如西瓜重量问题）切入，引导学生通过分布列构建均值概念，进而学习两点分布的均值及性质（E(aX+b)=aE(X)+b），最终结合驾照考试、优惠方案等实际问题实现知识应用，形成从具体到抽象、从理论到应用的学习支架。 该资料以问题驱动和实例教学为特色，通过“西瓜重量计算”“驾照考试次数分析”等生活化案例，引导学生用数学眼光观察现实世界，抽象出均值本质，培养数学抽象素养。借助分布列计算、性质应用（如Y=-2X的均值求解）提升数学运算能力，结合“优惠方案选择”“抽奖活动”等问题，让学生用数学思维分析、用数学语言表达，发展数学建模与数据分析素养。课中例题与规律方法助力教师高效授课，课后训练题和作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7.3.1　离散型随机变量的均值 课标要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质（数学抽象）. 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值（数学运算）. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题（数学建模、数据分析）. 知识点一｜离散型随机变量的均值 问题1　已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考： （1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列； （2）如何求西瓜的平均重量？ 【知识梳理】 1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝　　　　　　　＝　　　　　为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2.两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）＝　　　　　　. 　　提醒：（1）均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数；（2）随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动. 【例1】　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值. 【规律方法】 求随机变量X的均值的步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； （2）求出X取每个值的概率P（X＝k）； （3）写出X的分布列； （4）利用均值的定义求E（X）. 训练1　（1）若离散型随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 则X的均值E（X）＝（　　） A.2 B.2或 C. D.1 （2）袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 知识点二｜均值的性质 问题2　如果X是一个离散型随机变量，E（X＋b）和E（aX）（其中a，b为常数）分别与E（X）有怎样的关系？ 【知识梳理】 离散型随机变量的均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝　　　　　　. 【例2】　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E（Y）＝　　　　　. 变式　（1）本例条件不变，若Y＝2X－3，则E（Y）＝　　　　； （2）本例条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，则a＝　　　　. 【规律方法】 求随机变量Y＝aX＋b的均值 （1）先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（Y）； （2）利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）. 训练2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m＝（　　） ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 提能点｜均值的应用 【例3】　（链接教材P65例4）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？ 【规律方法】 实际问题中的均值解题步骤 （1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； （2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； （3）对照实际意义，回答均值所表示的结论. 训练3　某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相同的小球，其中3个小球上标有数字1，3个小球上标有数字2，3个小球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况，则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下一位顾客抽奖. （1）记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加一次抽奖活动？请说明理由. 1.一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X＝则E（X）＝（　　） A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E（2X＋1）＝（　　） A. B. C. D. 3.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E（X）＝　　　　. 4.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　. 自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4 S1 0.25 50 70 －20 98 S2 0.30 65 26 52 82 S3 0.45 26 16 78 －10 课堂小结 1.理清单 （1）离散型随机变量的均值； （2）均值的性质； （3）均值的应用. 2.应体会 求解离散型随机变量的均值、均值的性质及均值的应用问题时，利用了函数与方程及转化化归思想. 3.避易错 不会应用均值对实际问题作出正确分析. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.1 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 【例1】　解：ξ的所有可能取值为1，2，3，4. ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ＝1）＝0.6. ξ＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P（ξ＝2）＝（1－0.6）×0.7＝0.28. ξ＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ＝3）＝（1－0.6）×（1－0.7）×0.8＝0.096. ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P（ξ＝4）＝（1－0.6）×（1－0.7）×（1－0.8）＝0.024. 则ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以E（ξ）＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 训练1　（1）C　依题意＋＝1，得a＝1，∴E（X）＝0×＋1×＝. （2）解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝， P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝， 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 【例2】　　解析：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，所以E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×（ －）＝. 变式　（1）－　（2）15　解析：（1）由公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b及E（X）＝－得，E（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2×（ －）－3＝－. （2）因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 训练2　A　因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即E（η）＝12×（ 1×＋2×m＋3×n＋4×）＋7＝34.所以2m＋3n＝①.又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝②.由①②可解得m＝. 【例3】　解：若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120 000（元）. 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元， 则X的可能取值为184，188. X的分布列为 X 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的数学期望E（X）＝184×0.6＋188×0.4＝185.6. 则购买总价的数学期望为185.6×650＝120 640（元）. 因为120 640＞120 000，所以选择方案①更划算. 训练3　解：（1）由题意可知随机变量X的可能取值为1，4，8. P（X＝8）＝＝， P（X＝4）＝＝， P（X＝1）＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 P 所以随机变量X的数学期望为E（X）＝1×＋4×＋8×＝（元）. （2）由＞2，故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽奖活动. 随堂检测 1.A　E（X）＝1×5%＋0×（1－5%）＝0.05.故选A. 2.C　 ∵E（X）＝（－1）×＋0×＋1×＝－，∴E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝2×（ －）＋1＝.故选C. 3.　解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0，1，2.P（X＝0）＝P（ ）＝P（）P（）＝（ 1－）×（ 1－）＝，P（X＝1）＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×（ 1－）＋（ 1－）×＝，P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 4.A3　解析：A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3. 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 问题1　（1）提示：X的分布列为 X 5 6 7 P （2）提示：＝5×＋6×＋7×＝. 知识梳理 1.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　xipi 2.0×（1－p）＋1×p＝p 问题2　提示：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则E（X＋b）＝（x1＋b）p1＋（x2＋b）p2＋…（xn＋b）pn ＝（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝E（X）＋b. 类似地，可得E（aX）＝aE（X）. 知识梳理 aE（X）＋b 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $