7.3.1 离散型随机变量的均值 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，则E(X)＝(　　) A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2 解析：选A．E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝2.5. 2．已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ 1 2 3 P a b a 则E(ξ)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B．由分布列的性质可得，a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1， E(ξ)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2. 3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P p －p 则E(X)的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选A．由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(X)＝－p＋2×＝－p，1≤E(X)≤. 当p＝时，E(X)最小，E(X)的最小值为1. 4．一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，亏损20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．39元 B．37元 C．20元 D．元 解析：选B．设这台机器每生产一件产品可获利ξ元，易知随机变量ξ的分布列如下， ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元).故选B． 5．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生数的均值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选B．记抽到自己准备的书的学生数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，4， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝4)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1. 6．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 解析：选ABC．由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，故B正确； E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9×0.4＝6.3，解得a＝7，故A正确； 所以E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，故C正确； E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故D错误． 7．随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则P(X＝1)＝________． 解析：设P(X＝1)＝p，因为P(X＝0)＝，E(X)＝1， 故0×＋1×p＋2×(1－－p)＝1， 所以p＋－2p＝1，解得p＝. 答案： 8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(X)＝________．(结果用最简分数表示) 解析：X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案： 9．一个笔袋内装有10支同型号的签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则E(X)＝________． 解析：X的可能取值是1，2，3，4，5， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×××＝， P(X＝5)＝×××＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案： 10．(13分)袋中有20个大小相同的球，其中记为0号的有10个，记为n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值；(6分) (2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．(7分) 解：(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1， 又E(X)＝，则a·＋4＝1， 所以a＝－2. 11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(没有平局)，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则一轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝.若一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝()2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝. 12．(多选)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b a＋b 则E(X)的可能取值有(　　) A．0 B． C． D．2 解析：选BC．由分布列的性质可得且a＋b＋(a＋b)＝1，则a＋b＝，所以a＝－b，则0≤－b≤1.又0≤b≤1，所以0≤b≤.因为E(X)＝0×a＋1×b＋2×(a＋b)＝1＋b，所以1≤E(X)≤，所以E(X)可取和. 13．随机变量X的分布列如表所示，其中E(X)为X的数学期望，则E(2X－E(X))＝________． X 1 2 3 4 5 P 0.1 a 0.2 0.3 0.1 解析：由题意得，a＝1－0.1－0.2－0.3－0.1＝0.3，所以E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.3＋5×0.1＝3，所以E(2X－E(X))＝2E(X)－E(X)＝E(X)＝3. 答案：3 14．(15分)袋子中装有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励． (1)求消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；(4分) (2)记随机变量X为消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和均值；(4分) (3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．(7分) 解：(1)记“消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片”为事件A， 则P(A)＝＝，所以消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率为. (2)依题意得，随机变量X的所有可能取值为0，5，10，则P(X＝0)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝10)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 5 10 P 所以E(X)＝10×＋5×＋0×＝. (3)愿意．理由：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X－2，所以E(Y)＝E(X－2)＝E(X)－2＝－2＝＞0，所以愿意再次参加该项抽奖活动． 15．(15分)某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量x(单位：箱)，整理得到数据如下表所示．其中每箱该类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要每箱30元的运营成本，根据以往的经验，第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量x的频率作为日需求量发生的概率． x 22 23 24 25 26 频数 10 10 15 9 6 (1)如果每天的进货量为24箱，用X表示该水果店卖完该类水果所获得的利润，求X的均值；(7分) (2)如果水果店老板计划每天购进24箱或25箱的此类水果，请以利润的均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱．(8分) 解：(1)日进货量为24箱时，有当天卖完、当天剩余1箱、当天剩余2箱三种情况．由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率为，当天卖不完剩余2箱的概率为.若当天卖完，则X＝24×(100－50)＝1 200(元)；若当天卖不完剩余1箱，则X＝23×(100－50)－1×30＝1 120(元)；若当天卖不完剩余2箱，则X＝22×(100－50)－2×30＝1 040(元).所以E(X)＝×1 200＋×(1 120＋1 040)＝1 152(元). (2)日进货量为25箱时，有当天卖完、当天剩余1箱、当天剩余2箱、当天剩余3箱四种情况．由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率为，当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率为，用Y表示卖完水果所获得的利润．若当天卖完，则Y＝25×(100－50)＝1 250(元)；若当天卖不完剩余1箱，则Y＝24×(100－50)－1×30＝1 170(元)；若当天卖不完剩余2箱，则Y＝23×(100－50)－2×30＝1 090(元)；若当天卖不完剩余3箱，则Y＝22×(100－50)－3×30＝1 010(元).所以E(Y)＝×(1 250＋1 170)＋×(1 090＋1 010)＝1 146(元)，由(1)得，日进货量为24箱的利润的均值为E(X)＝1 152，E(X)>E(Y)，所以应当购进24箱． 学科网（北京）股份有限公司 $