6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　两个计数原理的综合应用 课标要求 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别（数学抽象）. 2.能根据具体问题的特征，选择两个计数原理解决一些实际问题（逻辑推理、数学运算）. 知识点一｜组数问题 【例1】　（链接教材P7练习5题）用0，1，2，3，4五个数字. （1）可以排成多少个三位数字的密码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 变式　由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 【规律方法】 解决组数问题的方法 （1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位），特殊元素优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解； （2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘. 　　提醒：数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 训练1　由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个： （1）无重复数字的三位数？ （2）可以有重复数字的三位数？ 知识点二｜抽取（分配）问题 【例2】　（链接教材P6例4）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（　　） A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 【规律方法】 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法； （2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行； ②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 训练2　（1）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（　　） A.18种 B.9种 C.6种 D.3种 （2）甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为　　　　. 知识点三｜涂色（种植）问题 【例3】　（1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有　　　　种； （2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有　　　　种不同的种植方法. 【规律方法】 解决涂色（种植）问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. 训练3　（1）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有　　　　种； （2）如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有　　　　种. 1.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（　　） A.6个 B.18个 C.24个 D.12个 2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有（　　） A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有　　　　种. A B C D 4.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有　　　　种. 课堂小结 1.理清单 （1）组数问题； （2）抽取（分配）问题； （3）涂色（种植）问题. 2.应体会 解决组数问题及涂色问题时注意分类讨论思想及“正难则反”思想的应用. 3.避易错 分类标准不明确，出现重复或遗漏问题. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　两个计数原理的综合应用 【例1】　解：（1）三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（个）. （2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（个）. （3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 变式　解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）. 训练1　解：（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）. （2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择. 由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）. 【例2】　C　法一（直接法）　按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）. 法二（间接法）　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案. 训练2　（1）A　（2）2　解析：（1）由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1＝18（种）.故选A. （2）不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2（种）. 【例3】　（1）180　（2）18　解析：（1）法一　可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝60（种）.综上，不同的涂色方法有180种. 法二　先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方法有60×3＝180（种）. （2）法一（直接法）　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6（种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18（种）. 法二（间接法）　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有24－6＝18（种）不同的种植方法. 训练3　（1）48　（2）72　解析：（1）根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法，对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法，则由分步乘法计数原理可得4×3×2×2＝48（种）涂色方法. （2）当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）染色方法；当侧面SAB与侧面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色方法共有48＋24＝72（种）. 随堂检测 1.D　先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2＝6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字的三位偶数.故选D. 2.D　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960（种）情况. 3.72　解析：先涂A，有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A，B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72（种）. 4.20　解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12（种）方法；当乙用银联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8（种）方法.综上，共有12＋8＝20（种）方法. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $