第7章 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

章末整合提升  体系构建 素养提升

一、条件概率及全概率公式

1.求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用P（B｜A）＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率.

2.全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）.全概率公式的实质是把事件B拆分成互斥事件的和，是加法公式和乘法公式的综合运用.

【例1】　（1）袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按顺序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则P（B｜A）＝　　　　；

解析：（1）依题意，事件AB：甲、乙只有一人摸到红球，则P（AB）＝＝，而P（A）＝1－（ ）2＝，所以P（B｜A）＝＝×＝.

（2）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是　　　　.

解析：（2）设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，由题意可知：P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（D｜A）＝，P（D｜B）＝，P（D｜C）＝，则P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝×（ ＋＋）＝，P（AD）＝P（A）P（D｜A）＝×＝，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P（A｜D）＝＝＝.

【反思感悟】

1.计算条件概率时，应明白是在谁的条件下，计算谁的概率；明确P（A），P（B｜A）以及P（AB）三者间的关系，实现三者间的互化.

2.理解全概率公式P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）中化整为零的计算思想.

3.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.

二、离散型随机变量的分布列、均值和方差

　　均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.

【例2】　随着“五一”假期的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：

假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立.

（1）从所有（人数足够多）在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；

解：（1）设“这4人中恰有2人给出非常满意的评价”为事件C，

由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为＝，

游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为＝，

则P（C）＝（ ）2（ 1－）2＋·（ 1－）·（ 1－）＋（ 1－）2（ ）2＝.

（2）根据上述数据，你若去旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由.

解：（2）设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y，

由题表中数据得X的分布列为：

Y的分布列为：

则E（X）＝4×＋3×＋2×＋1×＝，

D（X）＝（ ）2×＋（ －）2×＋（ －）2×＋（ －）2×＝，