7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

第二课时　条件概率的性质及应用

课标要求

1.掌握概率的乘法公式，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学运算）.

2.理解条件概率的性质，能用性质计算互斥（对立）事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 

情境导入

　　P（B｜A）表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以借助公式P（B｜A）＝或缩小样本空间求条件概率，其中P（AB）与P（B｜A）有什么区别与联系呢？

知识点一｜概率的乘法公式

【知识梳理】

对任意两个事件A与B，若P（A）＞0，则P（AB）＝　P（A）P（B｜A）　.

　　提醒：（1）在P（B｜A）中，事件A成为样本空间，而在P（AB）中，样本空间为所有事件的总和；（2）推广：设A，B，C为三个事件，且P（AB）＞0，则有P（ABC）＝P（C｜AB）P（AB）＝P（C｜AB）P（B｜A）·P（A）.

【例1】　（1）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（　A　）

A. B.

C. D.

解析：（1）记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝，P（B｜A）＝，所以P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝×＝.故选A.

（2）已知某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，则该产品的一等品率是　72%　.

解析：（2）记A：合格品， 记B：一等品，由于B⊆A，则P（B）＝P（AB），由题意，P（A）＝1－4%＝96%，P（B｜A）＝75%，故P（B）＝P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝96%×75%＝72%，即该产品的一等品率为72%.

【规律方法】

应用乘法公式求概率的一般步骤

概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法，若不容易直接计算P（AB）时，则可按下列步骤求“积事件”的概率：

（1）首先判断事件A与事件B，是否有P（A）＞0或P（B）＞0；

（2）根据已知条件表示出相应事件的概率P（A）、P（B｜A）或P（B）、P（A｜B）；

（3）代入乘法公式P（AB）＝P（A）P（B｜A）或P（AB）＝P（B）P（A｜B）求解.

训练1　（1）气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（　B　）

A.　 　　B. C.　 　　D.

解析：（1）设“该地区七月份刮台风”为事件A，“该地区七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题得P（A）＝，P（B｜A）＝，由概率的乘法公式得P（AB）＝P（B｜A）P（A）＝×＝.故选B.

（2）盒中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为　　.

解析：（2）没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”，记事件R1表示第一次取到红球，R2表示第二次取到红球，G1表示第一次取到绿球，则P（R1）＝，P（G1R2）＝P（G1）P（R2｜G1）＝×＝，∴没有取到黄球的概率为P＝＋＝.

知识点二｜互斥事件的条件概率

问题　先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记A表示“第一枚出现4点”，B表示“第二枚出现5点”，C表示“第二枚出现6点”.

（1）P（B｜A） 与 P（C｜A）各为何值？

提示：P（B｜A）＝，P（C｜A）＝.

（2）若已知第一枚出现4点，则第二枚出现大于4点的概率是多少？

提示：P（B∪C｜A）＝＝.

（3）根据前面的计算，你能有什么发现？

提示：若B与C互斥，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）.

【知识梳理】

设P（A）＞0，则

（1）P（Ω｜A）＝　1　；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝　P（B｜A）＋P（C｜A）　；

（3）设和B互为对立事件，则P（｜A）＝　1－P（B｜A）　.

　　提醒：A与B互斥，即A，B不同时发生，则P（AB）＝0，故P（B｜A）＝0.

【例2】　（链接教材P48例3）在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.

解：法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝＝.

∴P（B｜A）＝＝＝，P（C｜A）＝＝＝.

∴P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝.

∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为.

法二　∵n（A）＝1×＝9，

n（B∪C｜A）＝＋＝5，

∴P（B∪C｜A）＝＝.

∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为.

【规律方法】

1.利用公式P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）求条件概率，应注意这个性质使用的前提是“B与C互斥”.

2.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，再用加法公式.