7.1.1 第1课时 条件概率的概念与计算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.1.1　条件概率

第一课时　条件概率的概念与计算

课标要求

1.结合古典概型，了解条件概率的概念（数学抽象、数学运算）.

2.能计算简单随机事件的条件概率（数学抽象、数学运算）.  　　

情境导入

金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力.以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？

　　从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是.如果某个家庭中先后生了两个小孩：

　　（1）当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？

　　（2）当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？

知识点一｜条件概率的概念

问题1　抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}.

（1）两次都是正面向上的事件记为B，P（B）是多少？

提示：B＝{正正}，故P（B）＝.

（2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，则A＝{正正，正反}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为.

（3）以上两个事件的概率一样吗？为什么？

提示：不一样，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为样本空间，积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，其概率是不一样的.

【知识梳理】

条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝　　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

　　提醒：（1）P（B｜A）与P（A｜B）意义不同，由条件概率的定义可知P（B｜A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P（A｜B）表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率；（2）P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜A）是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（A）是事件A的概率，P（B｜A）与P（B）不一定相等.

【例1】　判断下列几种概率哪些是条件概率？

（1）某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；

解：（1）由于求高一的女生获得冠军的概率是在一名女生获得冠军的条件下求出的概率，所以所求概率是条件概率.

（2）掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；

解：（2）掷一个骰子出现有1，2，3，4，5，6的6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概型概率，所以掷出的点数为3的概率不是条件概率.

（3）在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率.

解：（3）由于求抽到梅花5的概率是在抽到梅花的条件下求出的概率，所以求抽到的是梅花5的概率是条件概率.

【规律方法】

条件概率概念的理解

判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.

训练1　下面几种概率是条件概率的是（　B　）

A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率

B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投中的概率

C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率

解析：　由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A、C、D中的不是条件概率.故选B.

知识点二｜随机事件的条件概率

【例2】　（链接教材P46例1）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n（Ω）＝＝30，

由分步乘法计数原理，n（A）＝＝20，

所以P（A）＝＝＝.

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

解：（2）因为n（AB）＝＝12，

所以P（AB）＝＝＝.

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

解：（3）法一　由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P（B｜A）＝＝＝.

法二　因为n（AB）＝12，n（A）＝20，

所以P（B｜A）＝＝＝.

变式　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率.

解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.

法一　易知P（A）＝，P（AC）＝＝＝，