6.2 培优课 排列与组合的综合应用 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

培优课　排列与组合的综合应用 能力提升

重点解读

一、定序问题

【例1】　6人站成一排.

（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？

解：（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝360（种）不同的排法.

（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？

解：（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.故有＝120（种）不同的排法.

【规律方法】

定序问题的求解方法

n个不同元素的全排列有种排法，m个特殊元素的全排列有种排法.当这m个元素顺序确定时，共有种排法.

训练1　用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，求有多少个符合条件的七位数？

解：法一（直接转化法）　七个位置先安排2，4，6三个数的排法为，然后1，3，5，7的顺序按照要求只能是1种，由分步乘法计数原理得符合条件的七位数的个数为×1＝210.

法二（重复插空法）　先将1，3，5，7按固定顺序排好，这四个数有5个空隙，将2插入，有5个空隙可以选择，然后再将4插入，有6个空隙可以选择，最后将7插入，有7个空隙可以选择，所以由分步乘法计数原理得符合条件的七位数的个数为5×6×7＝210.

二、排列与组合的综合问题

角度1　“类中有步”的计数问题

【例2】　甲、乙、丙、丁四个人中秋节分别选择到东湖公园、茶经楼、历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（　　）

A.24种 B.96种

C.174种 D.175种

解析：D　按照去茶经楼的人数进行分类讨论.第一类，若4个人均去茶经楼，则有1种参观方式；第二类，若有3个人去茶经楼，分两步，从4个人中选择3个人去茶经楼，余下1个人从另外的3处景点中任意选择一处，有＝12（种）参观方式；第三类，若有2个人去茶经楼，分三步，从4个人中选择2个人去茶经楼，余下2个人分别从另外的3处景点中任意选择一处，有＝54（种）参观方式；第四类，若有1个人去茶经楼，分四步，从4个人中选择1个人去茶经楼，余下3个人分别从另外的3处景点中任意选择一处，有＝108（种）参观方式.综上，由分类加法计数原理，共有1＋12＋54＋108＝175（种）参观方式，故选D.

角度2　“步中有类”的计数问题

【例3】　如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有　24　　　种；区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有　　216　　种.

解析：区域A，B，C，D和A1，B1，C1，D1分别各涂2种不同颜色，则区域A和C同色，B和D同色，A1和C1同色，B1和D1同色，所以先涂区域A和C，B和D，从4种颜色中选两种，有种.再涂区域A1和C1，B1和D1，用另外两种颜色去涂，有种.所以由分步乘法计数原理共有＝24（种）涂色方法.设四种不同的颜色为a，b，c，d，第一步先涂区域A，B，C，D共有＝24（种）方法；第二步涂区域A1，B1，C1，D1，在给区域A1，B1，C1，D1涂色时，与相应的区域A，

B，C，D颜色不能相同，不妨设区域A，B，C，D对应的颜色是a，b，c，d，那么区域A1，B1，C1，D1对应的颜色可能情况有如下几类，（b，a，d，c），（b，c，d，a），（b，d，a，c），（c，a，d，b），（c，d，a，b），（c，d，b，a），（d，a，b，c），（d，c，a，b），（d，c，b，a），共9种情况，所以共有24×9＝216（种）涂色方法.

【规律方法】

1.解排列与组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.

2.解排列与组合综合问题时要注意的两点

（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题；

（2）对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列与组合综合问题的一般方法.

训练2　（1）已知集合A＝{4，5，6，7}，B＝{5，6，7，8，9}，从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5 000大的自然数的个数为（　C　）

A.180　　　B.300 C.468　　　D.564

解析：（1）由两个集合中的数字大小，以及要求组成比5 000大的自然数，可分为两类讨论：第一类，若从集合A中取出元素4，则4不能作千位上的数字，只能先排在个位、十位或百位上，有种方法，再从B中选3个数字排在另外三个数位上有种方法，从而共有＝180（个）满足题意的自然数.第二类，从集合A中的元素5，6，7中取1个，有3种方法，若集合A中取出元素5，则集合B只能从6，7，8，9中取3个数字，有种取法，故可有（个）满足题意的自然数.集合A中取元素6，7时同理，故共有3＝288（个）满足题意的自然数.综上，由分类加法计数原理可得，满足题意的自然数共有180＋288＝468（个），故选C.

（2）将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放1个乒乓球，则不同的放法有（　B　）

A.82种 B.62种

C.112种 D.84种