6.3 培优课 二项式定理的综合应用 能力提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学二项式定理的综合应用，系统梳理两个多项式乘积的特定项、三项展开式的特定项、整除与余数问题，在基础展开式通项基础上，通过分类讨论与转化思想构建从基础到综合的学习支架。 资料以“例题解析+规律总结+分层训练”设计，突出数学运算与逻辑推理素养，如例1结合两种方法求乘积项系数，例3将整除问题转化为二项式展开。课中辅助教师高效授课，课后训练助学生巩固，查漏补缺，提升综合应用能力。

培优课　二项式定理的综合应用 能力提升 重点解读 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题（数学运算）. 2.能利用二项式定理解决整除（余数）问题（逻辑推理、数学运算）. 一、求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（－）5（x＋2）的展开式中常数项为（　A　） A.－10 B.－5 C.5 D.10 解析：（1）（－）5展开式的通项Tr＋1＝（－）r＝（－1）r，r∈N，r≤5，显然≠－1，则当＝0，即r＝1时，T2＝（－1）＝－5，所以（－）5（x＋2）的展开式中常数项为－5×2＝－10.故选A. （2）（－y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　A　） A.－60 B.－80 C.100 D.120 解析：（2）法一　由于（2x＋y）5的展开式的通项Tr＋1＝（2x）5－ryr＝25－rx5－r·yr，故（－y）·（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为×22－×23＝－60. 法二　若－y中选取，则在（2x＋y）5的展开式中选取含x2y3的项，即（2x）2y3＝40x2y3，二者相乘得20x3y3；若－y中选取－y，则在（2x＋y）5的展开式中选取含x3y2的项，即（2x）3y2＝80x3y2，二者相乘得－80x3y3.故（－y）（2x＋y）5的展开式中x3y3的系数为20－80＝－60，故选A. 【规律方法】 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 训练1　（1）若（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32，则（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为　－15　　　； 解析：（1）由（2x－）n的展开式中二项式系数之和为32得，2n＝32，故n＝5，（x－y）n的展开式通项为（－1）kx5－kyk，故x2y4的项为（－1＋（－12，k1＝4，k2＝3，即（－1）4x2y4＋（－1）32x2y4＝－15x2y4. 所以（x＋2y）（x－y）n的展开式中x2y4的系数为－15. （2）已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则a＝　　4　　. 解析：（2）（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4. 二、求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　C　） A.10 B.20 C.30 D.60 解析：（1）法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝（x2＋x）3y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为x4x＝x5.所以x5y2的系数为＝30. 法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x可得含x5y2的项.所以x5y2的系数为＝30. （2）（＋＋）5的展开式中的常数项是　　　　.（用数字作答） 解析：（2）法一　原式＝（）5＝·[（x＋）2]5＝·（x＋）10.求原式的展开式中的常数项，转化为求（x＋）10的展开式中含x5的项，T6＝·（）5x5，∴所求的常数项为＝. 法二　（＋＋）5是5个三项式（＋＋）相乘，常数项的产生有三种情况：①在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中1个三项式中取，剩余的4个三项式中选2个取，其余选2个取，则满足条件的乘积为··（）2＝；②在5个相乘的三项式（＋＋）中，从其中3个三项式中取，剩余的2个三项式分别取与各一个，则满足条件的乘积为（）3··（）·＝20；③从5个相乘的三项式（＋＋）中都取常数，得（）5＝4.综上，展开式中的常数项为＋20＋4＝. 【规律方法】 解决三项展开式问题的方法 训练2　（1）（x4＋＋2x）5的展开式中，x5项的系数为（　D　） A.160 B.210 C.120 D.252 解析：（1）原式＝（x4＋＋2x）5＝（x2＋）10，则Tk＋1＝（x2）10－k（）k＝x20－3k，令20－3k＝5，得k＝5，∴T6＝x5＝252x5，则x5项的系数为252. （2）（x－2y＋z）8的展开式共有　　45　　项，其中含x3y3z2的项的系数是　　－4 480　　.（用数字作答） 解析：（2）因为（x－2y＋z）8＝[（x－2y）＋z]8＝（x－2y）8＋（x－2y）7z＋…＋（x－2y）z7＋z8，由二项式定理可知，（x＋y）n展开式中共有n＋1项，所以（x－2y＋z）8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项.（x－2y＋z）8是8个（x－2y＋z）连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个（x－2y＋z）式子中选定三个（x－2y＋z）内提供x，在剩下的5个（x－2y＋z）中选定三个（x－2y＋z）内提供y，剩下的最后两个（x－2y＋z）提供z，则x3y3z2的系数是·（－2）3·＝－4 480. 三、有关整除或求余数问题 【例3】　（1）今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（　A　） A.一 B.二 C.三 D.四 （1）解析：　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋1）10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一. （2）用二项式定理证明1110－1能被100整除. （2）证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1 ＝1010＋×109＋×108＋…＋102＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 【规律方法】 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 训练3　（1）实数1.026的近似值（精确到0.01）为（　B　） A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 （1）解析：　1.026＝（1＋0.02）6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. （2）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，求实数a的值. （2）解：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a. 因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除. 又因为0≤a＜11，所以a＝8. 1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.30 B.20 C.15 D.10 解析：C　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2.9192被100除所得的余数为（　　） A.1 B.81 C.－81 D.－1 解析：B　9192＝（90＋1）92＝×9092＋×9091＋…＋×902＋×90＋.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.故9192被100除所得的余数为81. 3.（x＋y＋2z）5展开式中xy2z2项的系数为　　120　　. 解析：（x＋y＋2z）5展开式中的xy2z2项可以看成在5个因式（x＋y＋2z）中，有1个因式中取x，剩下的4个因式中2个取y，2个取2z相乘而得，即xy2（2z）2＝120xy2z2，所以展开式中xy2z2项的系数为120. 课堂小结 1.理清单 （1）两个二项式乘积与三项展开式问题； （2）整除和余数问题及近似值问题. 2.应体会 求解两个二项式乘积与三项展开式问题要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 分类不当，重复或遗漏. 1.（x2＋2）（－1）5展开式的常数项是（　　） A.－3 B.－2 C.2 D.3 解析：D　（－1）5展开式的通项为Tk＋1＝（）5－k（－1）k＝（－1）k.令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.故（x2＋2）·（－1）5的展开式的常数项是（－1）4×＋2×（－1）5×＝3. 2.（1＋2x＋3x2）5展开式中x3的系数为（　　） A.200 B.230 C.120 D.180 解析：A　（1＋2x＋3x2）5＝，由通项公式可得Tr＋1＝（2x＋3x2）r，r＝0，1，2，3，4，5，则x3的系数由（2x＋3x2）r来确定，由其通项公式可得＝（2x）r－k（3x2）k＝×2r－k×3k×xr＋k，k＝0，1，…，r.由r＋k＝3（k≤r，r∈N*，k∈N），得或所以x3的系数为×23×30＋×21×31＝80＋120＝200.故选A. 3.设n∈N*，则×1n×80＋×1n－1×81＋×1n－2×82＋×1n－3×83＋…＋×11×8n－1＋×10×8n除以9的余数为（　　） A.0 B.8 C.7 D.2 解析：A　因为1n80＋1n－181＋1n－282＋1n－383＋…＋118n－1＋108n＝（1＋8）n＝9n，所以除以9的余数为0. 4.在（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（　　） A.第11项 B.第13项 C.第18项 D.第20项 解析：D　（1＋x）5＋（1＋x）6＋（1＋x）7的展开式中，x4的系数为＋＋＝＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3（n－1）＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20. 5.在（x＋y2－1）（x2－y－1）6的展开式中，x2y4的系数为（　　） A.－60 B.－30 C.－20 D.20 解析：B　先求展开式中含xy4，x2y2，x2y4的项，易知（x2－y－1）6＝[x2＋（－y－1）]6，显然其不含xy4，含x2y2，x2y4的项分别为：（x2）（－y）2（－1）3，（x2）（－y）4（－1）1，所以在（x＋y2－1）的展开式中，x2y4的系数为×（－1）3＋（－1）××（－1）1＝－30.故选B. 6.〔多选〕（1＋x2）（2＋x）4的展开式中（　　） A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 解析：AC　（1＋x2）（2＋x）4＝（2＋x）4＋x2（2＋x）4，展开式中x3的系数分为两部分，一是（2＋x）4中含x3的系数·2＝8，二是（2＋x）4中含x项的系数·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中常数项只有（2＋x）4展开式的常数项24＝16，故C正确，D错误. 7.〔多选〕对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 解析：AD　（＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 8.（x＋y＋3）5展开式中不含y的各项系数之和为　1 024　. 解析：由（x＋y＋3）5＝[（x＋3）＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝（x＋3）5－kyk，当k＝0时，不含y的项，T1＝（x＋3）5＝（x＋3）5，令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45＝1 024. 9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝　　2　　. 解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2. 10.求证：32n＋2－8n－9（n∈N*）能被64整除. 证明：32n＋2－8n－9＝（8＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8＋－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8（n＋1）＋1－8n－9 ＝8n＋1＋8n＋…＋82. 上式中的每一项都含有82，故原式能被64整除. 11.请利用二项式定理证明：3n＞2n2＋1（n≥3，n∈N*）. 证明：当n≥3，n∈N*时，3n＝（1＋2）n＝1＋·2＋·22＋…＋2n＞1＋·2＋·22 ＝1＋2n＋2n（n－1）＝2n2＋1， 所以结论成立. 12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1. （1）求n和a的值； （2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项. 解：（1）由条件可得 解得 （2）（2x－1）（ax2＋）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝（－2x2）7－k（x－1）k＝（－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·（－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝时，舍去. ∴所求的常数项为168. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $