7.5 正态分布-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了正态分布的核心知识，涵盖正态曲线及其特征、概率计算、实际应用三大模块，通过问题导入、知识梳理与例题解析，构建“概念-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于融入数学抽象（误差模型引入）、直观想象（频率分布直方图分析）、数学建模（零件尺寸等实际问题）等素养，设计分层作业（A级基础、B级综合、C级拓展），如“3σ原则”在考试成绩划分中的应用实例，助力学生巩固知识，教师可精准实施分层教学，提升复习效率。

7.5　正态分布 1 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量（数学抽象）. 2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 （直观想象）. 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义，并会用正态分布去解决实际问题 （数学建模、数学运算）. 课标要求 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中 的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴， 但取一点的概率为0，对于这样的问题我们又如何用数学模型来刻画呢？ 情境导入 知识点一 正态曲线及其特征 01 知识点二 利用正态分布的性质求概率 02 知识点三 正态分布的实际应用 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 正态曲线及其特征 01 PART 目 录 问题　（1）下列随机变量是离散型随机变量吗？ ①掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； ②白炽灯的使用时间. 提示：①是，②不是. （2）教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布 直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数 解析式呢？ 提示：存在. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 正态曲线：若f（x）＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为 参数，我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 正态曲线（如图）. 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 正态分布 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从 正态分布，记为 .当μ＝ ，σ＝ 时，称随 机变量X服从标准正态分布； （2）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ ⁠. X～N（μ，σ2）　 0　 1　 μ　 σ2　 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 正态曲线的特点 （1）非负性：对∀x∈R，f（x）＞0，它的图象在x轴的 ⁠； （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为 ⁠； （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称； （4）最大值：曲线在 处达到峰值 ； （5）当｜x｜无限增大时，曲线无限接近 轴. 上方　 1　 x＝μ　 x＝μ　 x　 数学·选择性必修第三册 目 录 　　提醒：（1）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而 沿x轴平移，如图1；（2）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲 线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”， 表示随机变量X的分布比较分散，如图2. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　（1）〔多选〕已知三个正态密度函数φi（x）＝ （x∈R，i＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正 确的是（　AD　） AD A. σ1＝σ2 B. μ1＞μ3 C. μ1＝μ2 D. σ2＜σ3 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右 边，所以μ1＜μ2＝μ3，B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦高， 所以σ1＝σ2＜σ3，A、D正确. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知正态曲线的函数解析式为f（x）＝ （x∈R）， 则μ＝ ，σ＝ ⁠. 解析： 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得 μ＝2，σ＝3. 2 3　 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象 求出μ； （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ. 2. “σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲 线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　（1）〔多选〕下列关于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数 f（x）＝ · 的正确的描述是（　ABC　） A. f（x）为偶函数 B. f（x）的最大值是 C. f（x）在（0，＋∞）上是单调递减 D. f（x）关于x＝1对称 ABC 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 由正态分布密度函数f（x）＝ · ，可得f（x）的图象 关于x＝0对称，所以f（x）为偶函数，所以A正确，D不正确；根据正态 分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝ ·e0＝ ，所以B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f（x）在（－∞，0） 上单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以C正确. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值 μ＝ ，方差σ2＝ ⁠. 解析： 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最 大值是 ，所以μ＝20， ＝ ，解得σ＝ ，因此总体的均值μ ＝20，方差σ2＝（ ）2＝2. 20 2 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 利用正态分布的性质求概率 02 PART 目 录 【知识梳理】 1. 正态分布的几何意义：若X～N（μ，σ2），如图所示，X取值不超过 x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的 面积. 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间内取值的 概率： P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 　　提醒：（1）尽管随机变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次 试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以 外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可 能发生；（2）在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随 机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　设ξ～N（1，22），试求： （1）P（－1≤ξ≤3）； 解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2. （1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ） ≈0.682 7. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）P（3≤ξ≤5）. 解： ∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1）， ∴P（3≤ξ≤5）＝ [P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）]＝ [P（1－ 4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）] ＝ [P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]≈ （0.954 5－ 0.682 7）＝0.135 9. 数学·选择性必修第三册 目 录 变式　若本例条件不变，求P（ξ＞5）. 解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝ [1－P（－3≤ξ≤5）] ＝ [1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]＝ [1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]≈ （1 －0.954 5）＝0.022 75. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 利用正态分布求概率的两个方法 （1）对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P（X＜a）＝1－P （X≥a）；②P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）. （2）“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]， [μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1）随机变量X～N（8，σ2）.若P（7≤X≤9）＝0.4，则P （X＞9）＝（　D　） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 解析： ∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P （X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选D. D 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： P（1＜X＜3）＝P（3＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.5－ 0.2＝0.3. （2）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞5）＝0.2， 则P（1＜X＜3）＝（　C　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 C 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 正态分布的实际应用 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P86例）有一种精密零件，其尺寸X（单位：mm） 服从正态分布N（20，4）.若这批零件共有5 000个，试求： （1）这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； 解：∵X～N（20，4），∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零 件大约有多少个？ 解： ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是 ＝2.14%. ∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107（个）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本步骤 （1）根据题目中给出的条件确定μ与σ的值； （2）将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋ 3σ]这三个区间进行转化； （3）利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1求出最后结果. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　（1）某校高三学生的数学模考成绩X服从正态分布N（85， 102），按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩划分为优秀、良 好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为92分，则他的等级是 （　B　） A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 B 数学·选择性必修第三册 目 录 解析：　由题得μ＝85，σ＝10，所以μ＋σ＝95，μ－σ＝75，因为P（μ －σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，所以P（X＞95）≈ ＝0.158 65≈16%，根据比例成绩大于95分为优秀，因为P（85＜X≤95）≈ ＝0.341 35≈34%，根据比例成绩在85到95之间的为良好，因为小张的数学 成绩为92分，则他的等级是良好.故选B. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现 在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学 有多少人？ 解：∵成绩服从正态分布N（80，52）， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同 学占全班同学的34.135%. 设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学 占全班同学的2.275%. 即有50×2.275%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 如果ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，那么P （2≤ξ≤4）的值约为（　　） A. 0.5 B. 0.682 7 C. 0.954 5 D. 0.997 3 解析： 　∵ξ～N（μ，σ2），且E（ξ）＝3，D（ξ）＝1，∴ξ～N（3， 1），∴P（2≤ξ≤4）＝P（3－1≤ξ≤3＋1）＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ） ≈0.682 7. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 某高中对高三年级的1 000名学生进行了一次数学测试，得到各同学的 数学成绩（满分150分）X近似服从正态分布N（120，100），则得分在区 间[130，140]内的学生大约有（参考数据：若X～N（μ，σ2），则P （μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.96）（　　） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意，μ＝120，σ＝10，则P（130≤x≤140）＝ ×[P（μ －2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]＝ ×（0.96－0.7）＝ 0.13，得分在区间[130，140]内的学生大约有1 000×0.13＝130（人）.故 选C. 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 〔多选〕一次数学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如 图所示，下列说法中不正确的是（　　） A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D. 甲、乙、丙总体的平均数不相同 解析： 　由题图可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态曲线的 性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. √ √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 设随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝ 1，则实数a＝ ⁠. 解析：因为P（X≤1－a）＋P（X≤1＋2a）＝1，所以 ＝2， 所以a＝2. 2 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）正态曲线及其特征； （2）利用正态分布的性质求概率； （3）正态分布的实际应用. 2. 应体会 （1）利用数形结合思想研究正态曲线的性质； （2）利用正态分布的性质求概率体现了转化与化归思想. 3. 避易错 概率区间转化不等价. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X－1）＝ （　　） A. 6 B. 11 C. 12 D. 36 解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（10，22），所以D（X）＝22 ＝4，所以D（3X－1）＝32D（X）＝9×4＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），P（X≤4）＝0.842，则P （X≤2）＝（　　） A. 0.842 B. 0.158 C. 0.421 D. 0.316 解析： 　P（X≥4）＝1－0.842＝0.158.因为μ＝3，所以P（X≤2） ＝P（X≥4）＝0.158.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相 等，那么这个正态总体的数学期望是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间[－3，－1]内的 概率和落在区间[3，5]内的概率是相等的，∴函数图象关于直线x＝ ＝1对称，∴随机变量X的数学期望为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位： cm）服从正态分布N（170，σ2）.若身高在165 cm到175 cm的人数占样本 总数的 ，则样本中不高于165 cm的同学人数约为（　　） A. 80 B. 160 C. 240 D. 320 解析： 　P（X≤165）＝ ×（ 1－ ）＝ ，则样本中不高于165 cm的 同学人数约为1 600× ＝160. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量其重量，已知每袋面粉的 重量X（单位：千克）服从正态分布N（ 20， ），若P （19.95≤X≤20.05）≥0.997 3，则n的最小值为（　　） A. 120 B. 144 C. 150 D. 160 解析： 　由题意知当P（19.95≤X≤20.05）≥0.997 3时，[μ－3σ，μ ＋3σ]⊆[19.95，20.05]，又μ＝20，σ＝ ，所以0.05≥3 ，解得 n≥144，所以n的最小值为144.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕若随机变量X～N（μ，σ2），则（　　） A. X的密度曲线与y轴的交点为（ 0， ） B. X的密度曲线关于x＝σ对称 C. 2P（X＞μ＋3σ）＝P（｜X－μ｜＞3σ） D. 若Y＝ ，则E（Y）＝0，D（Y）＝1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　 若X～N（μ，σ2），则其密度函数f（x）＝ ，因此X的密度曲线与y轴的交点为（ 0， ）， 故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P（｜X－μ｜ ＞3σ）＝P（X＜μ－3σ）＋P（X＞μ＋3σ）＝2P（X＞μ＋3σ），故C 正确；E（Y）＝ ＝0，D（Y）＝ D（X）＝1，故D正确.故 选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N （μ1， ），N（μ2， ），其正态密度函数f（x）＝ ，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是 （　　） A. 甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A、C正确；因为甲图 象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即 ＝1.99， σ2≠1.99，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 某城市每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），若P （28≤t≤32）＝0.2，则可估计该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数 为 ⁠. 解析：因为每年6月份的平均气温t近似服从N（28，σ2），所以μ＝28， 因为P（28≤t≤32）＝0.2，所以P（24≤t≤28）＝0.2，所以P（t＜ 24）＝0.5－0.2＝0.3，所以该城市6月份平均气温低于24 ℃的天数为 0.3×30＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 已知随机变量ξ～N（3，σ2），且 ＝ ，则P（3＜ξ＜5） ＝ ⁠. 解析：由题意知μ＝3，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），又 ＝ ，所 以 ＝ .又P（ξ＜5）＋P（ξ＞5）＝1，所以P（ξ＞5）＝0.2， 故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＞3）－P（ξ≥5）＝0.5－0.2＝0.3. 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 设X～N（3，42），试求： （1）P（－1≤X≤7）； （1）P（－1≤X≤7）＝P（3－4≤X≤3＋4）＝P（μ－σ≤X≤μ＋ σ）≈0.682 7. （2）P（X＞11）. 解：∵X～N（3，42），∴μ＝3，σ＝4. 解： ∵P（X＞11）＝P（X＜－5）. ∴P（X＞11）＝ [1－P（－5≤X≤11）]＝ [1－P（3－8≤X≤3＋8）] ＝ [1－P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）]≈ ×（1－0.954 5）＝0.022 75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最 后结果.已知最后结果的误差εn～N（ 0， ），为使误差εn在（－ 0.5，0.5）的概率不小于0.954 5，至少要测量（若X～N（μ，σ2），则 P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5）（　　） A. 30次 B. 31次 C. 32次 D. 33次 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　因为P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 5，又因为μ＝0，σ2＝ ， 所以P（－2σ＜X＜2σ）＝0.954 5，所以2σ≤0.5，即σ≤ ，又因为σ＝ ，所以 ≤ ，解得n≥32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 〔多选〕小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐 公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分 钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公 交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（　　） A. P（X≤30）＜P（Y≤34） B. P（X≤36）＝P（Y≤36） C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意：X～N（30，36），Y～N（34，4）.对于A，因为 P（X≤30）＝ ，P（Y≤34）＝ ，所以P（X≤30）＝P（Y≤34）， 故A错误；对于B，因为P（X≤36）＝P（X≤30＋6）＝P（X≤μ1＋ σ1），P（Y≤36）＝P（Y≤34＋2）＝P（Y≤μ2＋σ2），所以P （X≤36）＝P（Y≤36），故B正确；对于C，因为P（X≤34）＞P （X≤30）＝ ，P（Y≤34）＝ ，所以P（X≤34）＞P（Y≤34），所 以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误；对于D，因为P （X≤38）＝P（X≤30＋8）＜P（X≤μ1＋2σ1），P（Y≤38）＝P （Y≤34＋4）＝P（Y≤μ2＋2σ2），所以P（X≤38）＜P（Y≤38）， 所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 某工厂生产了10 000根钢管，其钢管内径（单位：mm）近似服从正态 分布N（20，σ2）（σ＞0），工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径 高于20.05 mm的占钢管总数的 ，则这批钢管中，内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为 ⁠. 解析：∵P（X＜19.95）＝P（X＞20.05）＝ ，∴P （19.95≤X≤20.05）＝1－ ＝ ，∴P（19.95≤X≤20）＝ ＝ ， 故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000× ＝ 4 800. 4 800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X（单位：环）服从正态 分布N（μ，σ2），从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的 频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）求μ和σ2的值（用样本的均值和方差代替总体的均值和方差）； 解： 由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为 （用频率估计概率）： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值E（X）＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋ 9×0.02＝7， 方差D（X）＝（4－7）2×0.01＋（5－7）2×0.02＋（6－7）2×0.26＋ （7－7）2×0.40＋（8－7）2×0.29＋（9－7）2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成 绩在区间（7.9，8.8]的概率. 参考数据： ≈0.9. 解： 由（1）知X～N（7，0.8），因为 ≈0.9， 所以σ≈0.9， 因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7， P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5， 所以P（7.9＜X≤8.8）＝ ×[P（5.2≤X≤8.8）－P （6.1≤X≤7.9）]≈ ×（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在 区间（7.9，8.8]的概率约为0.135 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200， 182）. （1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率； 解： X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18， 而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ， ∴P（182≤X≤218）≈0.682 7. 又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218）， 由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218）， ∴P（X＜182）≈ ×（1－0.682 7）≈0.158 7.∴P（X≥182）＝1－P （X＜182）≈1－0.158 7＝0.841 3. 故所求的概率为0.841 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是 否符合这个要求？（精确到0.000 1） 解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ， ∴P（164≤X≤236）≈0.954 5. 又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜ 164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1， ∴P（X＜164）≈ ×（1－0.954 5）≈0.022 8， ∴P（X≥164）≈1－P（X＜164）＝0.977 2＞0.95. 故这批材料符合这个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $