7.5 正态分布(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件围绕“正态分布”展开，涵盖正态曲线特征、参数μ和σ的意义、3σ原则及实际应用，通过离散与连续型随机变量对比导入，搭建从已有知识到新知识的学习支架。 其亮点是以实际问题（如身高、电子产品寿命）为情境，用对称法和3σ法培养数学思维，结合茶叶亩收入、零件检测案例提升应用意识。帮助学生发展抽象能力和数据观念，教师可借助实例高效教学，提升课堂效果。

7．5　正态分布 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义．　2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小．　3.会用正态分布解决实际问题． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 思考1　下列随机变量是不是离散型随机变量： (1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 提示：(1)是．　(2)不是． 新知学习 探究 返回导航 思考2　一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少．生活中这样的现象很多，身高、电子产品的使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这类变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？ 提示：这类变量为连续型随机变量，可用正态分布概率模型来刻画． 新知学习 探究 返回导航 一　正态曲线及其特征 1．正态曲线 若f(x)＝____________________，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 (1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝________，σ＝________时，称随机变量X服从标准正态分布． (2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝______． 0　 1　 μ　 σ2 新知学习 探究 返回导航 上方　 1　 x＝μ　 x＝μ 新知学习 探究 返回导航 (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近________； (6)当______一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着______的变化而沿x轴平移，如图1. (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2. 　x轴　 σ　 μ 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　由题图可知甲类水果的平均质量为μ1＝0.6 kg，D正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0.8 kg，故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误； 由于甲曲线比乙曲线更“瘦高”，可知σ1<σ2，故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B错误，C正确．故选CD． 新知学习 探究 返回导航 (2)现已知随机变量Y服从正态分布N(2，4). 若随机变量Z＝aY－b(a，b为正实数)服从标准正态分布，则a＋b＝________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 10 　2 新知学习 探究 返回导航 二　利用正态分布的对称性求概率 1．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积． 新知学习 探究 返回导航 2．服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________． 0.682 7　 0.954 5　 0.997 3 新知学习 探究 返回导航 　　　设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1). (1)求c的值； 新知学习 探究 返回导航 (2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8). 附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 【解】　若σ＝3，则X～N(2，9)， P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3) ＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)若本例条件σ＝3变为σ＝2，其他条件不变，求P(－4≤X≤8). 解：P(－4≤X≤8)＝P(2－3×2≤X≤2＋3×2)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 2．(综合变式)若本例条件σ＝3变为P(X<3)＝0.6，其他条件不变，求P(1<X<2). 新知学习 探究 返回导航 利用正态分布求概率的两种方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解． 新知学习 探究 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)已知随机变量X～N(4，22)，则P(8<X≤10)的值约为(　　) A．0.021 4 B．0.135 8 C．0.818 5 D．0.975 9 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由题知两正态分布均有σ＝0.1及正态分布的对称性得：P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，A错误； P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，B正确； P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确； P(Y>2)＝P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8，D错误．故选BC. 新知学习 探究 返回导航 三　正态分布的应用 角度1　应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 　　 (1)(多选)(对接教材例题)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15(单位：min)，10次骑自行车所花时间的均值为15 min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y的分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示．若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是(　　) A．坐公交车所花时间的均值为10，标准差为3 B．若小明早上7：50之后出发,并选择坐公交车，则有60%的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 对于C，D，由题图可知，P(X≤18)<P(Y≤18)，P(X≤13)>P(Y≤13)，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出发，有18 min可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上7：47出发，有13 min可用，则应选择坐公交车，故D正确．故选ACD． 新知学习 探究 返回导航 (2)某冰上项目组织计划招收一批9～14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10 000名青少年报名参加测试，其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60，σ2)，成绩为90分以上者可以进入集训队，已知80分以上的人数为228，通过以上信息，推断进入集训队的人数为________．　 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 14 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 解答此类问题的关键在于利用正态曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想． 新知学习 探究 返回导航 角度2　3σ原则的实际应用 　　　某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.设这10个数据的均值为μ，标准差为σ. (1)求μ和σ； 新知学习 探究 返回导航 (2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：186，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 新知学习 探究 返回导航 【解】　由题意得X～N(200，36)， P(200－18≤X≤200＋18)≈0.997 3， 即P(182≤X≤218)≈0.997 3，而五个零件的内径186，190，198，204，213均在[μ－3σ，μ＋3σ]＝[182，218]内，根据3σ原则，可以认为设备正常，这台设备不需要进一步调试． 新知学习 探究 返回导航 应用正态分布的3σ原则解决实际问题 (1)随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)； (2)确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内； (3)作出判断，若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则正常，若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，通常认为这种情况几乎不可能发生，即不正常． 新知学习 探究 返回导航 √ [跟踪训练3] (1)(多选)某工厂为了提高工人的理论基础和实际操作技能，举办了青年工人“双能”大奖赛，满分为100分，60分及格，竞赛成绩X服从正态分布N(65，25)，则(　　) A．竞赛成绩的平均值为65分 B．竞赛成绩的标准差为25 C．竞赛成绩的合格率约为0.84 D．不合格人数与80分以上人数大致相等 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：μ代表均值，故竞赛成绩的平均值为65分，A正确； 新知学习 探究 返回导航 (2)某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，若测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，则该厂这一天的生产状况________正常的．(填“是”或“不是”) 解析：因为ξ～N(10，0.22)，且正态变量几乎都取值于区间[μ－3σ，μ＋3σ]内， 所以可通过判定抽得的产品是否落在这一区间来分析生产状况是否正常． 又μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4， 且9.52，9.98均在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的． 是 新知学习 探究 返回导航 (3)在某次大型人才招聘活动中，共有2 000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为________．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 10 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 42 √ 1．(教材P87练习T2改编)若随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≥4)＝0.45，则P(X>0)＝(　　) A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.45，所以P(X>0)＝1－P(X≤0)＝1－0.45＝0.55.故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：正态密度曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大图象越远离y轴，σ越小图象越“瘦高”．因此，μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3.故选BD． 课堂巩固 自测 返回导航 3．某地区有10 000名考生参加了高三模拟调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(92，42)，则数学成绩位于(96，100]的人数约为________． (参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 1 359 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P87T4改编)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量(单位：g)服从正态分布N(500，52). (1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约为多少？ 课堂巩固 自测 返回导航 (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．(概率小于0.000 1认为这种情况几乎不可能发生) 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 课堂巩固 自测 返回导航 解：检测员的判断是合理的． 理由：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查， 质量都小于485 g的概率约为0.001 35×0.001 35＝1.822 5×10－6， 概率小于0.000 1，这几乎不可能发生， 所以有理由认为该生产线出现异常，检测员的判断是合理的． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：(1)正态曲线及其特点；(2)利用正态分布的对称性求概率；(3)正态分布的应用及3σ原则． 2．须贯通：(1)利用“3σ”法求正态变量在某个区间内的取值概率；(2)利用3σ原则进行决策． 3．应注意：正态曲线中参数μ和σ含义混淆，不理解3σ原则在统计中的作用． 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝·e (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2＝σ3 B．σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2>μ3 D．μ1<μ2＝μ3 － $