7.4.1 二项分布-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了二项分布的核心知识，从n重伯努利试验的概念入手，通过问题链引导学生理解二项分布的定义、分布列及均值方差，构建“试验基础-概念形成-数字特征-实际应用”的完整知识网络。 其亮点在于以情境导入（投硬币中奖问题）激发兴趣，结合例题（招聘测试、种子发芽）培养数学建模与数学运算能力，设置分层作业（A/B/C级）满足不同学生需求。这种设计帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习方案，提升教学效率。

7.4.1　二项分布 1 1. 通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念（数学抽象）. 2. 掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题（数学建模、数 学运算）. 课标要求 某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着： 只需投掷二十次，便可拥有双倍财富（恰好10次正面朝上者中奖），他一 阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事 件，概率均为 ，20× 不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前 去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？ 情境导入 知识点一 n重伯努利试验的概念 01 知识点二 二项分布的概念及表示 02 知识点三 二项分布的均值与方差 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 n重伯努利试验的概念 01 PART 目 录 问题1　 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验. （1）试想每次试验的前提是什么？每次试验结果有几种？ 提示：条件相同下的试验，每次试验只有两种可能结果：正面朝上或反面 朝上. （2）各次试验的结果有无影响？ 提示：无影响，各次试验的结果相互独立. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 1. 伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验. 2. n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的 ⁠ 称为n重伯努利试验. 3. n重伯努利试验的共同特征 （1）同一个伯努利试验重复做 次； （2）各次试验的结果相互 ⁠. 　　提醒：（1）在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； （2）“重复”意味着各次试验成功的概率相同. 两个　 随 机试验　 n　 独立　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； 解：（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验. （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次 击中； 解：（2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰 好抽出4个白球. 解：（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的 可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 n重伯努利试验的判断依据 （1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； （2）每次试验相互独立，互不影响； （3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　下列事件是n重伯努利试验的是（　D　） A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射 中目标” D. 在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 解析：　选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽 然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率 不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击 中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验. D 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 二项分布的概念及表示 02 PART 目 录 问题2　（1）连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向 下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 提示：连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai（i＝1，2， 3）表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向 上”的事件，则B1＝（A1 ）∪（ A2 ）∪（ A3）.由此可得 P（B1）＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k（k＝0，1，2，3）次针尖向 上的概率是多少？有什么规律？ 提示：用Ai（i＝1，2，3）表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk（k＝0，1，2，3）表示事件“出现k次针尖向上”， P（B0）＝P（ ）＝q3＝ p0q3， P（B1）＝P（A1 ）＋P（ A2 ）＋P（ A3）＝3q2p＝ p1q2， P（B2）＝P（A1A2 ）＋P（ A2A3）＋P（A1 A3）＝3qp2＝ p2q1， P（B3）＝P（A1A2A3）＝p3＝ p3q0， 规律：P（Bk）＝ pk ，k＝0，1，2，3. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜ p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝ pk（1－p ，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式 的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ⁠. 　　提醒：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1；（2） 两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. X～B（n，p）　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　（链接教材P74例2）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过 A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试 即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 . （1）求甲被录用的概率； 解： 通过两个项目测试的概率为 （ ）2× ＝ ， 通过三个项目测试的概率为 （ ）3＝ ， 则甲被录用的概率为 ＋ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列. 解： 因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 ，由（1） 可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是 ，所以X～B（ 3， ）. 所以P（X＝0）＝ （ ）3＝ ， P（X＝1）＝ （ ）1×（ ）2＝ ， P（X＝2）＝ （ ）2× ＝ ， P（X＝3）＝ （ ）3＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 判定一个随机变量是否服从二项分布，要看两点. （1）试验是否为n重伯努利试验； （2）随机变量是否为某事件在这n重伯努利试验中发生的次数. 2. 若X～B（n，p），要弄清试验次数n与成功概率p.对于公式P（X ＝k）＝ pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），必须在满足“独 立重复试验”时才能应用. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都 为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试 验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分 布列； 数学·选择性必修第三册 目 录 解：由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B（ 3， ）， 则P（X＝0）＝ （ ）0（ 1－ ）3＝ ， P（X＝1）＝ （ ）1（ 1－ ）2＝ ， P（X＝2）＝ （ ）2（ 1－ ）1＝ ， P（X＝3）＝ （ ）3（ 1－ ）0＝ . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次 失败的概率. 解： 第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成 功，每次试验又是相互独立的. 故所求概率p＝ （ ）3×（ 1－ ）3× ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 二项分布的均值与方差 03 PART 目 录 问题3　若随机变量X服从二项分布B（n，p），那么X的均值和方差各 是什么？ 提示：当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p 则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）. 一般地，设q＝1－p，则二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 数学·选择性必修第三册 目 录 则E（X）＝0× p0qn＋1× p1qn－1＋2× p2qn－2＋…＋k pkqn－k ＋…＋n pnq0， 由k ＝n ， 可得E（X）＝n× p1qn－1＋n× p2qn－2＋…＋n pkqn－k＋… ＋n pnq0 ＝np（ p0qn－1＋ p1qn－2＋…＋ pk－1qn－k＋…＋ pn－ 1q0） ＝np（p＋q）n－1＝np， 同理可得D（X）＝np（1－p）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 如果X～B（n，p），那么E（X）＝ ，D（X）＝ ⁠ ⁠. 特别地，若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝ ⁠ ⁠. np　 np（1－ p）　 p（1－ p）　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例3】　（1）随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（2X －1）＝（　A　） A. 64 B. 128 C. 256 D. 32 解析： E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝np（1－p） ＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D（X）＝64. A 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且 仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错 不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次 测验中的成绩的均值为 ，方差为 ⁠. 解析： 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得 的分数（成绩）为Y，则Y＝4X. 由题知X～B（25，0.6），所以E （X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E （4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝ 96.所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 60 96 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求二项分布的均值和方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从二项分布； （2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方 差，即若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.特 别地，当n＝1时，X服从两点分布. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的 入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障 碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时， 向左、右两边下落的概率分别是 ， . （1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； 解： 设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”， 则P（M）＝ × × ＋ × × ＝ ， 所以P（N）＝1－P（M）＝1－ ＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数， 求ζ的分布列、均值和方差. 解： 易知ζ～B（ 4， ）， 则ζ的分布列为 P（ζ＝k）＝ （ ）k（ ）4－k（k＝0，1，2，3，4），故P（ζ＝0） ＝ ，P（ζ＝1）＝ ， P（ζ＝2）＝ ＝ ，P（ζ＝3）＝ ， P（ζ＝4）＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 ζ 0 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ ​ E（ζ）＝4× ＝ ，D（ζ）＝4× × ＝ . 故ζ的分布列为 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 若随机变量X～B（ 5， ），则P（X＝2）＝（　　） A. （ ）2×（ ）3 B. （ ）2×（ ）3 C. ×（ ）2×（ ）3 D. ×（ ）2×（ ）3 解析： 　∵随机变量X～B（ 5， ），∴P（X＝2）＝ ×（ ）2× （ ）3. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛 时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为 （　　） A. ×（ ）3× B. ×（ ）2× C. ×（ ）3× D. ×（ ）3× 解析： 　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获 胜，其概率为P＝ ×（ ）2× × ＝ ×（ ）3× .故选A. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D（X）＝ ，则p＝ 　​ 　. 解析：∵X服从二项分布B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝ ， ∴ 解得p＝ . 4. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病 人中至少3人被治愈的概率为 .（用数字作答） 解析：至少3人被治愈的概率为 ×0.93×0.1＋0.94＝0.947 7. ​ 0.947 7 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）n重伯努利试验的概念及特征； （2）二项分布的概念及表示； （3）二项分布的均值与方差. 2. 应体会 求解n重伯努利试验的概率及二项分布问题常采用公式法. 3. 避易错 二项分布的判断错误. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为 （　　） A. ×0.84×0.296 B. 0.84 C. 0.84×0.296 D. 0.24×0.896 解析： 　由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率 为 ×0.84×0.296. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 已知X～B（ 5， ），则E（X＋1）＝（　　） A. B. 1 C. D. 解析： 　由题意知，随机变量X～B（ 5， ），可得E（X）＝np＝ 5× ＝ ，所以E（X＋1）＝E（X）＋1＝ ＋1＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互 独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这 名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为（　　） A. B. 1 C. D. 解析： 　遇到红灯的次数X～B（ 4， ），∴E（X）＝4× ＝ ，∴E （Y）＝E（2X）＝2× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个 坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均 数为 ，则每粒种子发芽的概率p＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的 概率为（1－p），设每组不发芽的坑数为X，则X～B（5，（1－ p）），所以每组没有发芽的坑数的平均数为5×（1－p）＝ ，解得p＝ ，所以每个种子的发芽率为 .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明 月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转有直接的关系，这是一种自然现象. 根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ， 则该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮包括两天 出现大潮和三天出现大潮两种情况，有两天出现大潮的概率为 ×（ ） 2× ＝ ，有三天出现大潮的概率为 ×（ ）3＝ ，所以至少有两天出 现大潮的概率为 ＋ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二 正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确 的是（　　） A. P1＝P2＝P3＝P4 B. P3＝2P1 C. P1＋P2＋P3＋P4＝1 D. P4＝3P2 解析： 　由题意知，P1＝（ ）3＝ ，P2＝（ ）3＝ ，P3＝ × （ ）2×（ 1－ ）＝ ，P4＝ × ×（ 1－ ）2＝ ，P1＝P2＜P3＝ P4，故A错误；P3＝3P1，故B错误；P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；P4 ＝3P2，故D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕已知ξ～B（n，p），且E（3ξ＋2）＝9.2，D（3ξ＋2）＝ 12.96，则下列说法正确的有（　　） A. n＝6 B. p＝0.6 C. P（ξ＝4）＝ ×0.64×0.42 D. P（ξ≥1）＝1－0.66 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 因为E（3ξ＋2）＝3E（ξ）＋2＝9.2，D（3ξ＋2）＝9D （ξ）＝12.96，所以E（ξ）＝2.4，D（ξ）＝1.44，由ξ～B（n，p）， 所以E（ξ）＝np＝2.4，D（ξ）＝np（1－p）＝1.44，所以n＝6，p＝ 0.4，故A正确，B错误；又P（ξ＝4）＝ ×0.62×0.44，故C错误；P （ξ≥1）＝1－P（ξ＝0）＝1－0.66，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道题得2 分，答错一道题减1分，已知该生每道题目答对的概率是 ，且各题目答对 与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E（X）＝ ，D （X）＝ ⁠. 解析：依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y～B（ 6， ），所以 E（Y）＝6× ＝4，D（Y）＝6× × ＝ ，又因为X＝2Y－（6－Y） ＝3Y－6，所以E（X）＝3E（Y）－6＝3×4－6＝6，D（X）＝32D （Y）＝9× ＝12. 6 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生 2次的概率，则每次试验中事件A发生的概率p的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由n重伯努利试验发生k次的概率，得 p·（1－p）3≤ p2（1－ p）2，则p≥0.4.结合0＜p＜1，解得0.4≤p＜1. [0.4， 1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设甲、乙每 次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） （1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； 解： 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1， 由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验， 故P（A1）＝1－P（ ）＝1－（ ）3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的 概率. 解： 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次， 恰有1次击中目标”为事件B2， 则P（A2）＝ ×（ ）2＝ ， P（B2）＝ ×（ ）1×（ 1－ ）＝ ， 由于甲、乙射击相互独立， 故P（A2B2）＝ × ＝ . 所以所求的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机 等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X1； 当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X2，则（　　） A. E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2） B. E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2） C. E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2） D. E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　X1的可能取值为0，1，2，X1～B（2， ），E（X1）＝2× ＝ ，D（X1）＝2× × ＝ ；X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝ × ＝ ，P（X2＝1）＝ × ＋ × ＝ ，∴E（X2）＝0× ＋1× ＝ ，D（X2）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＝ .∴E（X1）＝E （X2），D（X1）＞D（X2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上 有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇 到红灯的概率均为 ；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概 率依次为 ， .若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯的次数的均值分 别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　若走L1路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量X，则X的 取值可能为0，1，2，3，且X～B（ 3， ），所以E（X）＝3× ＝ .若 走L2路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量Y，则Y的取值可能为0， 1，2，则由题意知P（Y＝0）＝（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ ，P（Y＝1） ＝ ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝ ，P（Y＝2）＝ × ＝ ，所以E （Y）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可 知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的 概率为 ，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解析：乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜.乙队以3∶0 获胜，即乙队三场全胜，概率为 ×（ ）3＝ ；乙队以3∶1获胜，即 乙队前三场两胜一负， 第四场获胜，概率为 ×（ ）2× × ＝ ；乙 队以3∶2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为 ×（ ） 2×（ ）2× ＝ .所以在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的 概率为 ＋ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时， 智能客服的回答被采纳的概率为 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客 服的回答被采纳的概率为 .已知输入的问题表达不清晰的概率为 . （1）求智能客服的回答被采纳的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”， 依题意，P（B）＝ ，P（ ）＝ ，P（A｜B）＝ ，P（A｜ ）＝ ， 因此P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（ ）P（A｜ ）＝ × ＋ × ＝ ， 所以智能客服的回答被采纳的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客 服的回答被采纳的次数.求X的分布列. 解： 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（ 3， ）， P（X＝0）＝ （ ）0（ ）3＝ ， P（X＝1）＝ （ ）1（ ）2＝ ， P（X＝2）＝ （ ）2（ ）1＝ ， P（X＝3）＝ （ ）3（ ）0＝ ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为 p，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一 次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获 得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投 篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分. 按累计得分高低确 定胜负. （1）若乙得6分的概率 ，求p； 解： 若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中， 其概率为p3·（1－p），又0＜p＜1， 故p3·（1－p）＝ ，解得p＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？ 解： 设X为甲累计获得的分数，则X～B（5， ），所以E（X）＝ np＝5× ＝ ， 设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0，2，4，6，8，10， P（Y＝0）＝ ，P（Y＝2）＝ ×（1－ ）＝ ， P（Y＝4）＝（ ）2×（1－ ）＝ ， P（Y＝6）＝（ ）3×（1－ ）＝ ， P（Y＝8）＝（ ）4×（1－ ）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 P（Y＝10）＝（ ）5＝ ， 所以Y的分布列为 Y 0 2 4 6 8 10 P ​ ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（Y）＝0× ＋2× ＋4× ＋6× ＋8× ＋10× ＝ ， 因为E（X）＞E（Y），所以甲获胜的可能性大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $