7.4.1 二项分布-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“二项分布”核心内容，通过抛掷硬币、射击命中问题链导入，引导学生从具体实例抽象n重伯努利试验特征，衔接随机变量知识，搭建从试验到分布的学习支架。 其亮点是问题驱动与素养融合，以射击、交通岗遇红灯等实例抽象概念培养数学抽象，一题多变和综合应用强化数学建模与运算。课堂小结明确知识与技法，助力学生构建体系，教师可利用分层资源提升教学效率。

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 第七章　随机变量及其分布 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 两个试验 重复 重复 相互独立 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 X～B(n，p) 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 np np(1－p) 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　随机变量及其分布 1 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解伯努利试验．(重点) 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． (难点) 1．通过对伯努利试验和二项分布等概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用二项分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模等核心素养． [提示]　无，即各次试验相互独立． 导学1　n重伯努利试验 　要研究抛掷硬币时出现的统计规律性，需要在相同的条件下多次重复做此试验． (1)试验结果有哪些？ [提示]　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． (2)各次试验的结果有无影响？ ◎结论形成 1．伯努利试验：只包含____________结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利试验________做n次；②各次试验的结果____________． 导学2　二项分布 　射击比赛时，某射击运动员连续射击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用Ai(i＝1，2，3)表示第i次击中靶心这个事件，用Bk表示事件仅击中k次． (1)用Ai如何表示B1，并求P(B1). [提示]　B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)， 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A123，1A23，12A3两两互斥，故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096. [提示]　P(Bk)＝C0.8k0.23-k(k＝0，1，2，3). (2)P(B2)和P(B3)的值是什么？ [提示]　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(B3)＝0.83＝0.512. (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ ◎结论形成 1．二项分布 (1)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝______________，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________________． (2)性质：P(X＝k)＝1. Cpk(1－p)n－k 2．二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝______，D(X)＝__________． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　) (2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的.(　　) (4)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p).(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列事件：①运动员甲射击箭靶一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是n重伯努利试验的是(　　) A．①　 　 B．②　 　 C．③　 　 D．④ 解析　①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验． 答案　D 3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C×＝. 答案　B 4．设如果X～B，那么E(X)＝________，D(X)＝________． 解析　E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝. 答案　　 题型一　求n重伯努利试验的概率　(一题多变) 　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次．求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率． [解析]　(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为 P＝××××＝； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为P＝C××＝. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求该射手射击5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率． 解析　该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C种情况．故所求概率为P＝C··＝. 解答n重伯努利试验中概率问题的几点注意 (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n重独立重复试验． (2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算． [触类旁通] 1．某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5.求： (1)恰有两家煤矿必须整改的概率； (2)至少有两家煤矿必须整改的概率． 解析　设需整改的煤矿有X家，则X～B(5，0.5). (1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为 P(X＝2)＝C×(1－0.5)2×0.53＝. (2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×(1－0.5)0×0.55＋C×(1－0.5)1×0.54＝， 所以至少有两家煤矿必须整改的概率为 1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－＝. 题型二　求二项分布的分布列、均值和方差 　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列、均值和方差． [解析]　有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3.又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3重独立重复试验，则X～B. ∴P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝. 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“n重伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． [触类旁通] 2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列、均值和方差． 解析　由题意可知X～B， 所以P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3). P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C··＝， P(X＝2)＝C·＝， P(X＝3)＝C＝. 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以E(X)＝3×＝， D(X)＝3××＝. 题型三　二项分布的综合应用 　[教材例3·拓展]一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [解析]　 (1)由ξ～B，则P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，5. 即P(ξ＝0)＝C××＝； P(ξ＝1)＝C××＝； P(ξ＝2)＝C××＝； P(ξ＝3)＝C××＝； P(ξ＝4)＝C××＝； P(ξ＝5)＝C×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯) ＝·，k＝0，1，2，3，4， 即P(η＝0)＝×＝； P(η＝1)＝×＝； P(η＝2)＝×＝； P(η＝3)＝×＝； P(η＝4)＝×＝； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝＝. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝. [素养聚焦]　在利用二项分布解决简单的实际问题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等词语的意义，在解题过程中，提升数学建模等核心素养． 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解． [触类旁通] 3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 解析　用A表示事件甲射击一次击中目标，B表示事件乙射击一次击中目标，则A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝. (1)用C表示事件甲射击4次，至少有1次未击中目标，则P(C)＝1－＝. (2)用D表示事件两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，∴P(D)＝C···C··＝. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝··＝. 知识落实 技法强化 1．n重伯努利试验的概念及特征． 2．二项分布的概念及表示． 在数学建模过程中常出现对二项分布的判断错误． $