7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆与展望 已知100件产品中有8件次品, 有放回随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 有放回抽样，X服从二项分布，即X~B(4, 0.08). X的分布列为： 变式：已知100件产品中有8件次品, 不放回随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 不放回抽样，试验一次有两个不同结果，有点像二项分布，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，X 不服从二项分布 可用古典概型方法求解，但明显有独特性，X服从什么样的分布呢？ 7.4.2 超几何分布 自主研读 P77~P79例6之前，梳理知识，记录疑问 超几何分布是如何定义的？它适用于什么样的实际问题？ 超几何分布的概率计算公式是什么？公式中的字母各代表什么含义？ 超几何分布的期望公式是什么？ 超几何分布与二项分布有什么联系和区别？ 关注以下问题： 问题一：随机变量X具有哪些特征、分布列具有哪种形式时，称X服从超几何分布？  超几何分布： 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n―N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 超几何分布的三个特征： ①总体中含有两类不同的个体; ②不放回抽样; ③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 记为X~H(N, n, M). 判断是否为超几何分布的依据 问题二：请解释超几何分布公式中各个参数的意义？  N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数)(即成功元素) m＝max{0, n―N+M} r＝min{n, M}. M N－M 问题三： 为什么 ，而不是0, 1, …, n ？  m＝max{0, n―N+M} r＝min{n, M}. 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, …, 8 3, 4, …, 8 100件产品中有8件次品 抽4件：k=_____________ 抽10件：k=_____________ 抽95件：k=_____________ 本质原因： 组合数有意义及上下标关系 上限限制：X不能超过M（次品总数），也不能超过n（抽取件数），所以最大值是 min(M, n)。 下限限制：X不能少于0，也不能少于 n―(N―M)（因为正品最多有N―M件，如果抽 n 件，最少需要抽到的次品数为 n―(N―M) ，当这个数为负时取0） 问题四：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？怎样得到的？  猜想 N 件产品的次品率 抽取的 n 件产品的次品率 证明： 当m>0时， 当m=0时，类似可以证明结论依然成立. 与k无关的常数 雷德蒙恒等式 问题五：关于“二项分布与超几何分布”的辨析 ：  从含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件，设抽到的次品数为X 如果采取有放回抽样，X服从什么分布？如果采取不放回抽样，X服从什么分布？这两种分布的本质区别是什么？ 有放回抽样：每次抽取相互独立，次品率恒定，X服从二项分布 B(n, M/N). 不放回抽样：每次抽取不独立，次品率变化，X服从超几何分布. 本质区别： 1. 二项分布描述的是独立重复试验（有放回）； 2. 超几何分布描述的是有限总体不放回抽样. 但当N很大时，不放回近似于放回，超几何分布可近似为二项分布（P80） 典例精析 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 例1：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.并依此判断哪种方式更可靠. 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 典例精析 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001), 如下表所示. 样本中黄球的比例 是一个随机变量, 根据表中数据计算得 因此, 在相同的误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 不放回摸球: 有放回摸球: 典例精析 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近. 典例精析 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. N较大时计算太麻烦 例2：老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值 典例精析 解：设抽到他能背诵的课文的数量为，则 所以， ，， 所以的分布列为： 2 3 二项分布与超几何分布的区别与联系  超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 类物品 有 种结果 总体规模 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 需要总体(有限)中两类的具体数目 不关注总体大小(可视为无限)，只需要一类占总体的比例 古典概型 独立重复试验 (1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近 (2)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布 归纳总结 随堂小测 课本P80 练习 1，2，3 课后作业 课本P81 6 大本P75 右侧5 Lavf58.76.100 $