6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦组合的概念、组合数公式及简单应用，通过团代会选代表的顺序与无序问题导入，衔接排列知识，搭建从排列到组合的认知支架，引导学生理解组合与顺序无关的本质。 其亮点在于以数学抽象为基础，通过实例辨析组合与排列的区别，结合逻辑推理推导组合数公式，设置分层例题与训练题强化数学运算。课堂小结梳理知识清单与易错点，帮助学生构建知识体系，教师使用可高效落实课标要求，提升学生解决实际问题的能力。

第一课时　组合与组合数公式 1 1. 通过实例，理解组合的概念（数学抽象）. 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学 运算）. 3. 会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 课标要求 在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言. 若3人发言有顺序，有多少种选择方案？若3人发言无顺序，又有多少种选 择方案？以上两个问题，你能发现怎样的关系？ 情境导入 知识点一 组合的定义 01 知识点二 组合数与组合数公式 02 知识点三 简单组合问题的应用 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 组合的定义 01 PART 目 录 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的 选法？这一问题是排列问题吗？ 提示：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲 乙、甲丙、乙丙，共3种.由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考 虑顺序，故不是排列问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 ，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素 中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元 素的顺序无关. 作为一组　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ 解： 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组 合问题. （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 解： 冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务， 有多少种不同的选法？ 解： 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解： 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 （1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有 关即为排列问题，与顺序无关为组合问题； （2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移 法”或“树状图法”逐个将各个组合表示出来. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的 有多少个？ 解： 因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少 种票价？ 解： 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问 题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是 组合问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）2025年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表达新年的祝福，贺卡共 有多少张？ 解： 甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关， 是排列问题. 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 组合数与组合数公式 02 PART 目 录 问题2　（1）类比排列数，请写出组合数的概念. 提示：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数 表示组合数. 提示：“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”可以看作由以下两 个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取 法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有 ＝x· ，即x＝ . 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 组合数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 ⁠ 的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数 符号表示 组合数公式 乘积式 ＝ 　 　＝ 　 　 阶乘式 ＝ ⁠ 性质 ＝ ， ＝ ＋ 备注 ①n，m∈N*，并且m≤n；②规定 ＝1 所 有不同组合　 　 　 　 数学·选择性必修第三册 目 录 　　提醒：公式 ＝ 常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计 算；公式 ＝ 常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒 等式. 角度1　化简与求值 【例2】　（链接教材P24例6）（1）计算： － · ； 解： 原式＝ － ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）计算： ＋ ； 解： ∵ ∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋31＝466. （3）若 ＝120 ，求n. 解： ∵ ＝120 ， ∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝ ， 解得n＝3或n＝－1（舍去），∴n＝3. 数学·选择性必修第三册 目 录 角度2　组合数的性质 【例3】　（1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ⁠； 解析： 因为 ＝ ，所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（ ＋ ） ＋ ＋…＋ ＝（ ＋ ）＋ ＋…＋ ＝…＝ ＝ ＝7 315. （2）已知 － ＝ ，则n＝ ⁠. 解析： 由 － ＝ 得 ＝ ＋ ，由组合数的性质，可 得 ＝ ，故8＋7＝n＋1，解得n＝14. 7 315 14 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧 （1）化简：先用组合数的两个性质化简； （2）转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不 等式； （3）求解：解常规代数方程、不等式； （4）检验：注意由 中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范 围，验证所得结果是否符合题意. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　（1） ＋ ＝ ⁠； 解析： ＋ ＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝56＋4 950＝5 006. （2）证明：m ＝n . 5 006 解析：证明：m ＝m· ＝ ＝n· ＝n . 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 简单组合问题的应用 03 PART 目 录 【例4】　在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选 出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？ 解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问题，共 有 ＝28种不同的选法. 数学·选择性必修第三册 目 录 变式　本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1 人参加”，有多少种不同的选法？ 解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有 ＝2种选法；再从另外8人中选3人，有 种选法.共有 ＝112种 不同的选法. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题 与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合 问题与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 　　提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 解： 从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是 ＝ ＝ ＝56. （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解： 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出 2个，取法种数是 ＝ ＝ ＝21. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解： 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个 球，取法种数是 ＝ ＝ ＝35. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 下列不是组合问题的是（　　） A. 从1，2，3，4中选出2个构成的集合个数 B. 五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C. 由1，2，3组成无重复数字的两位数 D. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票 票价的种数（假设票价只与距离有关） 解析： 　只有选项C与元素的顺序有关，其余选项与顺序无关. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 把三张游园票分给10人中的3人，分法有（　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 30种 解析： 　三张票没区别，从10人中选3人即可，即 . √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 从10名大学毕业生中选3人担任村民委员会主任助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的选法种数为（　　） A. 28 B. 49 C. 56 D. 85 解析： 　依题意，满足条件的选法种数为 ＋ ＝49. √ 4. 若 ＝ ，则n＝ ⁠. 解析：依题意n＝2n－3或n＋2n－3＝12.解得n＝3或n＝5.经验证知， 满足题意. 3或5 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）组合与组合数的定义； （2）组合数的计算与证明； （3）组合数的简单应用. 2. 应体会 利用组合数公式及性质解决化简与求值问题时应用了方程思想；利用组合 数公式解决简单实际问题时，注意间接法的应用. 3. 避易错 分不清“排列”还是“组合”. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列四个问题中，属于组合问题的是（　　） A. 从3个分别标有1，2，3的3个不同小球中，取出2个排成一列 B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C. 在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D. 将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张 解析： A、B、D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问 题，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分 法一共有（　　） A. 种 B. 45种 C. 54种 D. 种 解析： 　由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代 表中选4人满足分配要求，故有 种. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个 村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的 条数为（　　） A. 4 B. 8 C. 28 D. 64 解析： 　由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建 ＝ ＝ ＝28（条）公路. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 若 ＝42，则 ＝（　　） A. 60 B. 70 C. 120 D. 140 解析： 　由 ＝ ×2＝42，解得n＝7或n＝－6（舍去）， ∴ ＝ ＝ ＝140. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　） A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种 解析： 　法一（直接法）　一男两女，有 ＝5×6＝30（种）；两男 一女，有 ＝10×4＝40（种），共计70种. 法二（间接法）　任意选取有 ＝84（种），其中都是男医生有 ＝10 （种），都是女医生有 ＝4（种），于是符合条件的有84－10－4＝70 （种）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 〔多选〕在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论正确 的有（　　） A. “其中恰有2件次品”的取法有8种 B. “其中恰有1件次品”的取法有28种 C. “其中没有次品”的取法有56种 D. “其中至少有1件次品”的取法有56种 解析： 　抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有 ＝8（种），A 正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有 ＝56（种），B错 误；抽到的3件产品中没有次品的取法有 ＝56（种），C正确；抽到的3 件产品中至少有1件次品的取法有 ＋ ＝64（种），D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 〔多选〕下列式子成立的是（　　） A. ＝ B. ＝m C. ＝ ＋ D. ＝ 解析： 　根据排列和组合数公式，可知A成立； ＝n（n－1）（n －2）…（n－m＋1）， ＝（n－1）·（n－2）…（n－m＋1），所 以 ＝n ，故B不成立；由组合数的性质，可知C成立； ＝ ＝ · ＝ · ，故D成立. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 不等式 －n＜5的解集为 ⁠. 解析：由 －n＜5，得 －n＜5，所以n2－3n－10＜0，解得－2 ＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，4，故原不等式的 解集为{2，3，4}. {2，3，4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种 不同的选法，其中女生有 人. 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生 中选出1人，共有30种不同的选法，∴ × ＝30，∴x（x－1）（8 －x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6 ＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 2或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 10. （1）解方程：3 ＝5 ； 解： 由排列数和组合数公式，原方程可化为3· ＝5· ， 则 ＝ ， 即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2. 经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求 ＋ 的值. 解： 由组合数的定义知 所以7≤r≤9.又r∈N*， 所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝ ＋ ＝46； 当r＝8时，原式＝ ＋ ＝20； 当r＝9时，原式＝ ＋ ＝46. 所以 ＋ 的值为46或20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右 两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（　　） A. 5 040 B. 36 C. 18 D. 20 解析： 　最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法， 另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有 ＝20（种）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网 （图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 （　　） A. 72条 B. 108条 C. 126条 D. 252条 √ 解析： 　要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因 此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或 纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5 个时段走横线段，共有 ＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路 线共有126条.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析：∵ ＝ ，∴m＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝120. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 14. 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. （1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解： 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的 元素中取出2个元素的组合数，即 ＝ ＝45. 所以共有45种不同的选法. （2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ 解： 可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有 种方法； 第2类，选出的2名是女教师有 种方法. 根据分类加法计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21（种）不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 15. 规定 ＝ ，其中x∈R，m∈N，且 ＝1，这 是组合数 （n∈N*，m∈N且m≤n）的一种推广. （1）求 的值； 解： 由题意得 ＝ ＝－84. （2）组合数具有两个性质：① ＝ ；② ＋ ＝ .这两 个性质是否都能推广到 （x∈R，m∈N）？若能，请写出推广的形式 并给出证明；若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 解：性质①不能推广，如当x＝ 时， 有意义，但 无意义. 性质②能推广，它的推广形式是 ＋ ＝ （x∈R，m∈N）. 证明如下：当m＝0时，有 ＋ ＝1＋x＝ ； 当m≥1时，有 ＋ ＝ ＋ ＝ （ 1＋ ） ＝ ＝ . 综上，性质②的推广得证. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册 目 录 $