第1讲 平面向量(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第1讲 平面向量 一、平面向量的概念 1．下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误； 根据零向量的概念，易知C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确； 故选：B. 2．下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】A 【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决. 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误. 故选：A 3．有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案. 【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误； 对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误. 综上，错误的是②③⑤，共3个. 故选：B. 二、平面向量的线性运算 4．在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加减法规则求解. 【详解】 如图，根据平面向量的加法规则有：  ； 故选：D. 5．的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反向量的概念及向量的加法直接求解. 【详解】， 故选：D. 6．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果. 【详解】. 故选：D 7．在中，点满足，则（    ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 【答案】A 【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解 【详解】由，知， 可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上． 故选：A 8．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 9．（多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念即可判断各选项的正误． 【详解】根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 三、平面向量的数量积运算 10．已知菱形的边长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量数量积的公式计算即可. 【详解】. 故选：A 11．已知非零向量，的夹角为，，，则______． 【答案】9 【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】由及，夹角为可知， 又，解得，则， 故， 故答案为：9 12．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________． 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，，, , 故答案为: . 13．如图，是边长为1的正六边形的中心，A，B，C是三个顶点，则___________. 【答案】 【分析】直接应用数量积公求解. 【详解】因为，由正六边形的性质知，，即，易知与的夹角为， 所以. 故答案为： 四、用基底表示向量 14．在平行四边形中，M为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算的几何意义进行分解即可. 【详解】   . 故选：A. 15．已知，点D满足，若，则_________． 【答案】 【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值. 【详解】由，得， 所以， 即， 所以，所以，， 故． 故答案为：. 16．如图，在中，，点是线段上一点. (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解； （2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值. 【详解】（1）因为点是线段的中点，且， 所以. 所以； （2）设，则 ， 又，所以， 因为， 所以， 所以. 五、平面向量线性运算的坐标表示 17．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据及即可求解. 【详解】， 所以. 故选：A. 18．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可． 【详解】因为，所以， 又，所以，则． 故选：D． 19．已知，，． （1）求的坐标； （2）求满足条件的实数，． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）利用向量的坐标运算即可求的坐标. （2）由已知线性关系，结合坐标表示得到，解方程组即可. 【详解】（1）根据题意，，，， 则,,,,， （2）根据题意，若，即,,,， 则有，解可得，故. 六、平面向量数量积运算的坐标表示 20．设向量，，则________. 【答案】 【分析】根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 21．已知向量，，（），则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意向量，，可得， 故， 故选：B 22．直角三角形中，，，若点满足，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，设，根据，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，以和所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 可得， 设，因为，可得， 解得，即，则， 所以. 故选：B. 七、共线向量 23．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线 【答案】C 【解析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出. 【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误； 两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误； 无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误. 故选：C 【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题． 24．（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则三点共线 【答案】BD 【分析】结合平面向量共线定理逐一判断选项可得结果. 【详解】A选项中也成立，故错误； B选项中当时，，与任一向量平行，当时，，故正确； C选项中时不平行，故错误； D选项依据共线定理可知正确. 故选：BD． 25．已知，若，则k=（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列方程求解，即得答案. 【详解】因为，所以， 故选：C． 26．已知向量，，若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得. 【详解】因为，， 所以， 又与平行，所以，解得. 故选：D 27．已知、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为、、，则，， 因为、、三点共线，则，所以，即． 故选：C. 28．已知向量，，若与方向相反，则______． 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程即可求得答案. 【详解】由，共线，则，得，即， 又与方向相反，故， 故答案为： 29．已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 【答案】 【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可. 【详解】，， 因为点，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 30．已知，． (1)若，，且A、B、C三点共线，求m的值． (2)当k为何值时，与共线． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）计算出，，利用三点共线得到方程，求出m的值； （2）计算出，，利用共线方程，求出答案. 【详解】（1），， ∵A、B、C三点共线， ∴，即． （2）∵，， ∴，， 又与共线， ∴，即. 八、平面向量共线定理的推论 31．在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果. 【详解】由，得出， 由得， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 32．如图所示，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即，又， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得，所以实数m的值为. 故选：C 33．如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则__________． 【答案】 【分析】利用线性运算得到，然后根据三点共线得到，最后解不等式即可. 【详解】，所以，因为三点共线，所以，解得.故答案为：. 九、求平面向量的模 34．已知向量满足，则（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案. 【详解】∵, 又∵ ∴，∴，∴， 故选：B. 35．向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，化简后结合已知条件求出， 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：D 36．已知向量，，，则___________. 【答案】 【分析】由向量线性关系坐标表示得，根据向量垂直的坐标表示列方程求参数，进而应用坐标公式求模. 【详解】由，又， 所以，可得. 所以，故 故答案为： 37．设向量满足，则________． 【答案】 【分析】根据向量的数量积公式计算，得到答案. 【详解】， 故. 故答案为：. 38．设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 39．若平面向量与的夹角为， ， ，则____． 【答案】 【分析】直接化简得到关于的方程，解出即可. 【详解】， 化简，解得或（舍去）. 故答案为：. 40．已知向量，且，则___________. 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果. 【详解】因为，，所以，又， 所以，解得，所以，故. 故答案为：. 41．已知向量，若，则__________. 【答案】 【分析】由得，根据向量数量积的坐标运算求得的值，进而求得. 【详解】根据题意，因为，所以， 所以，所以， 所以， 此时，则.故答案为:. 十、求平面向量的夹角 42．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方求得，再根据两个向量夹角的余弦公式求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，所以，所以，所以． 故选：A. 43．已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由可得， 则，即得，故， 则， 故， 由于，故， 故选：C. 44．已知向量，．则________；________． 【答案】 5 【分析】直接根据向量的数量积的坐标化运算以及向量夹角公式即可得到答案. 【详解】， ， ，. 故答案为：5；. 45．已知向量，满足，，则________. 【答案】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算可得，进而可求结果. 【详解】由题意可得，两式相加可得，即， 可得， 所以. 故答案为：. 46．已知向量，，为向量与的夹角，则______. 【答案】 【分析】利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】因为向量，，且与的夹角， 所以. 故答案为：. 47．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】利用性质，将已知条件转化为数量积求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，因为，所以． 又，所以，所以． 故答案为： 48．若，，，则与的夹角大小为______． 【答案】 【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 又因，所以与的夹角为. 故答案为：. 十一、投影向量 49．若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．（，） C．（，） D．（4，2） 【答案】B 【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：B 50．已知向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求出在上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模． 【详解】∵，，∴，， ∴在上的投影向量为， 则在上的投影向量的模为． 故选：C． 51．已知向量，满足，，则在上的投影向量______. 【答案】 【分析】根据在上的投影向量即可求解. 【详解】设与的夹角为，在上的投影向量.故答案为：. 52．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________. 【答案】或 【分析】对两边平方化简，求出，再利用数量积的几何意义可求得结果 【详解】由，得， 因为向量和的夹角为150°，且， 所以，得， ，所以或， 当时，在上的投影为， 当时，在上的投影为， 综上，在上的投影为或， 故答案为：或 53．已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 /； . 【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，所以， 由可得， 所以，即 所以， 所以在上的投影向量为． 故在上的投影向量的坐标为.故答案为：；. 十二、平面向量综合 54．（多选）已知点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的坐标为 B．，其中 C．线段的中点坐标为 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量线性运算的坐标表示以及向量模长计算公式判断每个选项. 【详解】由向量的坐标表示可得，A正确； ，， 所以，B正确； 的中点坐标为，故C错误； 因为，所以，D正确. 故选：ABD 55．若，且与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由已知得且不共线，结合向量的坐标运算可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为，，且与的夹角为钝角， 所以且不共线， 则， 解得且，即. 故答案为：. 56．已知向量，且. (1)求向量，的夹角； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，求得，利用夹角公式，即可求解； （2）根据，即可求解. 【详解】（1）由，，可得，解得， 则， 又因为，所以. （2）由且， 则. 57．如图所示，在中，． (1)用表示； (2)若，证明：三点共线． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以，所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线． 58．已知，． (1)若与垂直，求实数的值； (2)若为与的夹角，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长与数量积，由向量垂直列方程即可得实数的值； （2）根据平面向量的夹角余弦值的坐标运算即可. 【详解】（1）因为，，所以， 又与垂直，所以， 解得； （2）因为 所以. 59．设向量，，. (1)求； (2)若，，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】(1)1；(2)2；(3)证明见解析 【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果. 【详解】（1），； （2），所以，解得：，所以； （3）因为，所以，所以A，，三点共线. 60．已知非零向量、，满足，，且． (1)求向量、的夹角； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）对化简结合可得，然后利用结合数量积的定义可求得答案， （2）先求出，然后平方可得结果 【详解】（1）∵， ∴，即，                         又，∴，设向量、的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即向量、的夹角为； （2）∵ ∴． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $