第2讲 解三角形(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第3讲 解三角形 一、余弦定理解三角形 1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理进行求解. 【详解】由正弦定理得：，即，解得：. 故选：A 2．在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即可求出． 【详解】因为，所以． 由正弦定理可得，，即，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，已知两角及一边，解三角形，属于基础题． 3．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可. 【详解】由题意可得，则或. 因为，所以，所以. 故选：A 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果. 【详解】根据正弦定理得，得， 所以. 故选：C. 5．在中，已知，则角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用正弦定理即可得出答案. 【详解】解：在中，已知， 因为， 所以， 所以或， 所以或. 故选：C. 二、正弦定理解三角形 6．在中，角的对边分别为，且，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果. 【详解】在中，由余弦定理得：， 即，解得：或（舍），. 故选：B. 7．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，令，，， 则. 故选：A. 8．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求 【详解】设 故选：C 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（   ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】A 【分析】由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值． 【详解】中，， 可得：，由余弦定理可得： ， ，，故选：A. 11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________. 【答案】 【分析】由余弦定理计算． 【详解】因为b2＝ac，且c＝2a，，所以cos B＝＝＝. 故答案为：． 三、三角形面积公式及其应用 12．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意已知条件，直接使用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故选：D. 13．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=（ ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时， 由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B. 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 14．在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由于,，故有， 解得， 又，则, 故选：A． 15．在中，，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理可判断“”和“的面积为”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由已知在中，， 若，则为正三角形，故， 若的面积为，则， 又,即， 解得，故， 所以“”是“的面积为”的充分必要条件， 故选：C 16．在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为_________. 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理得出，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，，所以由正弦定理得 即，得因为，所以， 所以， 所以面积， 故答案为：. 四、化角为边判断三角形形状 17．若在，则三角形的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理角化边可得结果. 【详解】由以及余弦定理得， 化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形. 故选：B 18．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到△ABC为等腰三角形. 【详解】因为，，所以， 所以由正弦定理和余弦定理得， 化简得，所以，所以△ABC为等腰三角形. 故选：B 19．在中，（分别为角的对边），则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式将已知条件变形，然后利用余弦定理进行边角转化进行判断. 【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得 ，整理得，由勾股定理知，为直角三角形. 故选：B 20．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，由正弦定理得， 则，则， 所以为有一个角为的直角三角形.故选：B. 21．在中，角A，，的对边分别为，，，若，则角A与角的关系为（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理求得，，之间的关系，进而得到角A与角的关系. 【详解】由，可得， 则，则， 则， 则， 整理得， 则或，则或. 故选：D 五、化边为角判断三角形形状 22．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】应用正弦定理，结合三角形内角的性质及两角和差公式可得，即可判断的形状. 【详解】由题设，结合正弦定理有，而， ∴，即，又， ∴. 故选：A 23．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而判断出正确选项. 【详解】由正弦定理得，即， 在中，，则，所以或， 故，或，故三角形为等腰或直角三角形， 故选：C. 24．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 所以或， 即(舍去)或， 故为直角三角形， 故选：C 25．设在中，角所对的边分别为， 若， 则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到，求得，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即，即，所以， 又因为，所以，所以是直角三角形. 故选：A. 26．已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 六、判断三角形解的个数 27．中，.则满足这样的三角形的个数为（    ） A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行求解即可 【详解】已知， 由正弦定理，， 又，则，， 或，满足条件的三角形有2个三角形. 故选：B. 28．中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，. 要使有两解，即有两解，则应有，且， 所以，所以.故选：B． 29．（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则有两解 B．若，，则无解 C．若，，则有一解 D．若，，，则有两解 【答案】BD 【分析】A选项，推出是边长为2的等边三角形，有1解；B选项，由正弦定理得到，无解；C选项，由大边对大角得到三角形中有2个钝角，无解；D选项，由正弦定理得到或，D正确. 【详解】A选项，因为，，所以，故，是边长为2的等边三角形，有1解，A错误； B选项，若，，由正弦定理得，即， 解得，无解，B错误； C选项，若，，由大边对大角可知，，此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，C错误； D选项，若，，，由正弦定理得，即， 解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：BD 30．（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（    ） A．若，有一个解 B．若，无解 C．若，有两个解 D．若，有一个解 【答案】BCD 【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】因为且，由正弦定理，即， 当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确； 当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确； 当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确； 当，即，则，由，此时只有一解，故D正确. 故选：BCD. 31．（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】BD 【分析】由题意，则角A只有一个解，有或且，转化为边的关系即可. 【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个， 则或且， 所以或，选项BD符合. 故选：BD． 七、正、余弦定理的实际应用 32．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（    ） A．60米 B．120米 C．150米 D．300米 【答案】C 【分析】应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离. 【详解】由题设，， 在△中，，即， 所以米. 故选：C 33．如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，解得， 在中，， 所以， 所以红豆树的高度为千米． 故选：D． 34．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设铁塔的高度为，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h． 【详解】设铁塔的高度为米， 由题意可得：， 在中，由余弦定理， 即， 解得. 故选：A. 35．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】如图，由题意得，海里， 得，在中，由正弦定理， 得海里. 故选：A. 36．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（    ） A．50 B．30 C．25 D．15 【答案】B 【分析】计算得到，，在中利用余弦定理计算得到答案. 【详解】设塔高的高度为，在中，因为，所以； 在中，因为，所以； 在中，，，， 根据余弦定理可得，， 即，解得或（舍去）. 故选：B. 八、解三角形综合小题 37．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 38．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理得，而， ∴ ，即， 又∵、为的内角，∴， 又∵，∴， ∴由余弦定理得：，∴， ∴为等边三角形. 故选：B. 39．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果. 【详解】因为， 根据正弦定理得到： 故得到 再由余弦定理得到： 代入，，得到. 故选：A. 40．在中，内角所对的边分别为.若，，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，接着利用正弦定理求得外接圆半径后，根据圆的面积公式可得结果. 【详解】，解得：； ，解得：； 由正弦定理得：，解得：， 的外接圆面积. 故选：A. 41．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得． 【详解】在中，根据正弦定理得， 由， 所以， 所以， 所以，则，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边． 42．（多选）对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项. 【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确； 对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误； 对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确； 对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误. 故选：AC. 43．（多选）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ） A．，，则的外接圆半径是4 B．若，则 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，则 【答案】BC 【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D. 【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误； 由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确； 因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确； 若，显然，故D错误.故选：BC 44．（多选）以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　） A．在ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C B．在ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．在ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立 D．在ABC中， 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确； 对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确； 对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确. 【详解】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确； 对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确； 对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 九、边角互化 45．在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）， 由正弦定理知，， 即． 又，且．所以， 由于．所以； （2）由余弦定理得：， ． 又，所以 所以. 46．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解； （2）由的面积为，求得，结合余弦定理， 求得， 即可求解. 【详解】（1）由题意及正弦定理知，， ， ，. （2）， 又， 由①，②可得， 所以的周长为. 47．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足． (1)求角B的大小； (2)设，． （ⅰ）求c的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可. （2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，, 可得， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， （ⅰ）则， 即，解得（舍），. 故. （ⅱ）由， 得，解得，则， 则， ， 则 . 48．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边BC的中点，求AD的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 即． 由余弦定理可得， 又，所以． （2）因为， 所以， 即， 又，则，所以．所以，． 所以，所以． 在△ACD中，由余弦定理可得， 即． 十、利用基本不等式求范围问题 49．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小； （2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由已知， 即，由正弦边角关系得， 所以，又，所以. （2）由余弦定理，得，又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 50．在中，，. (1)当时，求和； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)，；(2)27 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，结合可得，进而根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为且， 所以. 由正弦定理得，即. 所以. 所以或. 因为， ，所以. 所以. 由，即，解得. （2）因为，    因为， 所以.                         所以，当且仅当为时，等号成立. 所以. 所以面积的最大值为. 51．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小． (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为因为，所以， 所以 因此有． 又因为，所以． （2）由，及余弦定理，得 ， 所以，当且仅当时取等号． 又因为，所以，故的周长的取值范围为． 52．的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小； （2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，进而求得周长的最大值. 【详解】（1）解：由正弦定理知，所以，解得， 因为为钝角，所以. （2）解：由余弦定理得， 又由，则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以周长的最大值为. 53．在中，角所对的边分别，且 (1)求角A的值； (2)已知在边上，且，求的面积的最大值 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合和差角关系可得，即可得，进而可求， （2）根据向量的线性表示以及模长公式可得，结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解. 【详解】（1）在中因为． 由正弦定理得， 所以， 因为，所以．故 又是的内角，所以．从而． 而A为的内角，所以； （2）因为所以,所以， 从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故的面积的最大值为. 十一、利用三角函数值域求范围问题 54．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理分析运算； （2）利用正弦定理进行边化角，在结合三角恒等变换及余弦函数分析运算. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 所以， 且，故. （2）因为，可得， 则 ， 因为，所以，则 所以，即． 55．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若，求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解， （2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ，， （2）因为，，所以，故 由正弦定理得： 所以， 所以周长 因为，则，所以 故 求周长的取值范围为. 56．已知分别为锐角内角的对边，． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；（2）由正弦定理，三角恒等变换得即可解决. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得, 因为在三角形中, 所以， 所以， 所以，或（舍去）， 所以； （2）由（1）得 所以由正弦定理得 , 因为锐角三角形， 所以， 所以， 所以, 所以， 所以的取值范围为 57．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求A； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合，求出； （2）由正弦定理得到，从而得到，结合，求出，得到的取值范围. 【详解】（1）由，得： 由正弦定理得： 又，所以， 故，即，则； （2）由正弦定理得： 所以 又因为，所以，又， 故， 故，则， 所以 故的取值范围为． 58．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若，求a＋b的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，利用正、余弦定理将角转化为边得出，再利用余弦定理求得，从而得出角C； （2）由已知结合正弦定理边化角公式得，利用三角恒等变换整理得，最后根据正弦型函数的值域的求法，即可求得a＋b的取值范围. 【详解】（1）∵，则， 又∵，即， 则，整理得，则 ∵，则. （2）由正弦定理，得， 则 ， ∵，则， ∴， 则， 故a＋b的取值范围为. 十二、正、余弦定理在几何图形中的计算 59．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为. (1)求AC； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得； （2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可 【详解】（1）因为的面积为，所以. 又因为，，所以. 由余弦定理得，， ，所以. （2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以. 60．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求b； (2)若D为的中点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出 ，然后按照正弦定理计算即可； （2）利用 ，以及AD是中线的特点列方程即可. 【详解】(1)因为，所以 在中，由正弦定理得， 即. (2)在中，由余弦定理得……① 因为D为的中点，所以. 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 由得……② 联立①②可得，即， 故答案为： ， . 61．如图，在中，，，点D在线段上． （1）若，求的长； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理求解即可. （2）用余弦定理求出，在两个三角形中用正弦定理得出，代入值求解即可. 【详解】解：（1）∵，且∴，∴ （2）∵， 故算得， 在中，利用正弦定理有， 在中，有 ∴， ∵，∴∴ 62．如图，在中，，，，点在上，且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）3；（2）． 【分析】（1）先求出，再由余弦定理求出； （2）先求出，，再由正弦定理求出，进而得出，再由三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）∵ 在中，由余弦定理得或（舍）． （2）由已知， ∴ 由正弦定理得 ∴ ∴ 【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出，再由余弦定理求出. 63．的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知． （1）求角C； （2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理，先得到，推出，化简整理，求出，即可得出结果； （2）根据题中条件，先得到，推出，结合余弦定理，求出，再由，根据三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）由，根据正弦定理可得， 则，所以， 整理得，因为均为三角形内角，所以， 因此，所以； （2）因为CD是角C的平分线，，， 所以在和中，由正弦定理可得，，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即，解得，所以， 又，即， 即，所以. 【点睛】思路点睛： 求解三角形的相关问题时，一般需要利用正余弦定理，将题中所给条件化简整理，求出所需的角或边，再结合设问进行求解即可. 13 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $