第3讲 复数(复习课）(学霸满分练)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第3讲 复数 一、复数的四则运算 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】， . 故选：B. 2．设，则（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法可求运算结果. 【详解】, 故选：A 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 4．是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 5．若为虚数单位，则计算___________． 【答案】 【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和． 【详解】设， ， 上面两式相减可得， ， 则． 故答案为：． 二、共轭复数 6．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】, 故的共轭复数为 ， 故选：B 7．复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算，求出，再根据共轭复数的定义，即可得出． 【详解】．则， 故选：B． 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】设，，根据复数相等的充要条件及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设，，则， 若，即，所以，则，此时，故充分性成立； 若，则，则，故必要性成立； 故“”是“”的充要条件. 故选：C 9．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】因为，可得，所以. 故选：A. 三、求复数的模 10．已知复数，则（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】由复数的乘法公式和模的计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 11．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 12．已知，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】利用复数的除法可求，从而可求其模. 【详解】由题设可得，故， 故， 故选：B. 四、求复数的实部与虚部 13．复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据复数运算法则可求得z，由实部和虚部定义求得结果. 【详解】因为， 所以复数的实部与虚部分别是，，则复数的实部与虚部之和为． 故选：C 14．若复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义可得，进而运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故选：B. 15．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 16．已知复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数除法运算化简z，进而可得，相减即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 所以的虚部为 故选：B 17．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部. 【详解】， 故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4. 故选：C 18．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算化简，求出，即可得出的虚部. 【详解】因为 . 所以，故的虚部为. 故选：A 19．已知复数为的共轭复数，则的虚部为___________. 【答案】 【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解. 【详解】由， 则的共轭复数，则的虚部为.故答案为： 五、复数的相等 20．已知为实数，且(为虚数单位)，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得，进而得解. 【详解】 由题意知，解得，所以 故选：A 21．设，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为R，，所以，解得：． 故选：A. 22．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 23．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B. 六、已知复数的类型求参数 24．若复数是实数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再由已知列式计算作答. 【详解】依题意，，因，且z是实数，则，解得， 所以实数.故选：A 25．已知为实数，复数为纯虚数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】复数为纯虚数，解得，代入中，利用复数的除法化简即可. 【详解】复数为纯虚数，则，解得， .故选：C 26．设复数满足为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数，根据纯虚数的概念以及复数的模长公式可求出结果. 【详解】设， 则 ， 依题意得，即， 则. 故选：A 27．已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 【答案】(1)或；(2)且；(3). 【分析】根据复数的有关概念依次求解即可. 【详解】（1）当为实数时，，解得或； （2）当为虚数时，，解得且； （3）当为纯虚数时，，解得. 七、判断复数对应的点所在象限 28．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 29．已知，则复数z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数四则运算化简复数z，然后由复数的几何意义可得. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 30．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先化简，再利用复数的除法化简得解. 【详解】. 所以复数对应的点在第四象限， 故选：D 【点睛】结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限. 31．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，再利用复数的几何意义求解. 【详解】，且的乘方运算是以4为周期的运算 所以， 所以复数所对应的点，在第二象限. 故选：B 八、根据复数的坐标写出对应的复数 32．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义确定复数，再由复数乘法求. 【详解】因为复数z对应的点的坐标为， 所以， 所以， 故选：B． 33．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称得到，在利用复数除法法则进行计算. 【详解】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以， 所以． 故选：B． 34．在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由于知道复数对应点的坐标，所以根据复数的几何意义可得复数，然后求出，再根据复数模的定义可得结果. 【详解】由题意，知，，所以，所以． 故选：C. 35．设复数z在复平面内对应的点为，若，则a=（    ） A．2i B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，所以. 因为，所以，解得. 故选:C. 九、根据复数对应坐标的特点求参数 36．已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据对应点所在象限列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】， 对应点， 由于点在第一象限， 所以，解得. 故选：A 37．已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先化简复数，再由复数对应的坐标在直线上可得参数. 【详解】由题意，得， 其在复平面内对应的点的坐标为． 因为z在复平面内对应的点在直线上，所以， 解得． 故选:D． 38．若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【分析】利用复数除法运算化简，根据在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】依题意， 由于在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得，故的值可以是. 故选：B 39．复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定复数对应的点，根据其所在象限列出不等式组，即可求得答案. 【详解】复数点为，该点在第三象限， 则，解得， 故选：A. 40．已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即. （2）解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为. 41．当实数m取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)与原点重合； (2)位于直线上； (3)位于第三象限. 【答案】(1)；(2)或；(3)无解 【分析】（1）根据实部和虚部均为零列方程组求解； （2）根据点在直线列方程求解； （3）根据实部和虚部均小于零列不等式组求解. 【详解】（1）由已知得，解得， 即时，复平面内表示复数的点与原点重合； （2）由已知得， 解得或， 即或时，复平面内表示复数的点位于直线上； （3）由已知得，解得无解， 即不存在的值使复平面内表示复数的点位于第三象限. 十、由复数模求参数 42．已知i是虚数单位，若，则实数a=（    ） A．2 B．2 C．-2 D．±2 【答案】D 【分析】根据复数模的概念求解即可. 【详解】， ，解得， 故选：D 43．已知， 则在复平面内的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，根据已知求出、可得，再根据复数的几何意义可得答案. 【详解】设，由， 得 ，，解得，，或，， 所以，或，则在复平面内的坐标是或. 故选：C. 44．已知复数z满足，且是纯虚数，则（    ） A． B．i C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知得出，，且，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 因为，所以； 又，是纯虚数， 所以，，且，即. 又，所以，解得或（舍去）. 所以，. 故选：B. 45．已知，为虚数单位，若复数，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得． 【详解】因为 由，得，得． 故答案为：． 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $