10.2 第2课时 相互独立事件概率的应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第二课时　相互独立事件概率的应用 1.（2025·济宁月考）某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（　　） A.0.48　 　B.0.4　 　C.0.32　 　D.0.24 2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处停车一次的概率为（　　） A. B. C. D. 3.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（　　） A. B. C. D. 4.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为（　　） A. B. C. D. 5.某校组织《最强大脑》竞赛，最终A、B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕将两个质地均匀且四面分别标有1，2，3，4的正四面体各掷一次，记事件A＝“第一个正四面体向下的一面为偶数”；事件 B＝“第二个正四面体向下的一面为奇数”；事件C＝“两个正四面体向下的一面均为奇数或者均为偶数”，则下列结论正确的是（　　） A.P（A）＝ B.P（AB）＝ C.P（ABC）＝ D.P（B）＝ 7.〔多选〕某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，则两次抽奖中（　　） A.都中奖的概率为0.05 B.都没有中奖的概率为0.95 C.恰有一次中奖的概率为0.095 D.至少有一次中奖的概率为0.097 5 8.小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个问题的回答结果相互独立.已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表： A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分 答对的概率 0.6 0.5 0.4 记小明所得总分为X（分），则＝　　　　. 9.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为　　　　. 10.甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. （1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率. 11.专家甲独立地破译一个密码成功的概率为，为提高破译概率需增加专家数量，若要达到破译出密码的概率为99%（各专家相互独立互不交流），至少需要像甲这样的专家的人数为（参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1）（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率为（　　） A. B. C. D. 13.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片跳到另一片），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A片荷叶上，则跳三次之后停在A片荷叶上的概率是　　　　. 14.为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点. （1）求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率； （2）求这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率. 15.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，每个人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； （2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　相互独立事件概率的应用 1.D　由题意可知该选手只闯过前两关，第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×（1－0.5）＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24. 2.D　设汽车分别在甲、乙、丙三处绿灯通行为事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.停车一次即为事件BC＋AC＋AB，故概率为P＝（1－）××＋×（1－）×＋××（1－）＝. 3.B　记师傅加工2个零件都是精品的概率为P（A），则P（A）＝×＝，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P（B），则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝，得P（B）＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为. 4.C　设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”.∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立，∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P（AB∪）＝P（AB）＋P（）＝P（A）P（B）＋P（）P（）＝×＋×＝. 5.C　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜.所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为P＝（）3＋××＋××＝.故选C. 6.AB　由题意知P（A）＝＝，故A正确；∵P（B）＝＝，事件A与B相互独立，∴P（AB）＝×＝，故B正确，D错误；∵事件AB与事件C为互斥事件，∴P（ABC）＝0，故C错误. 7.CD　记“第一次抽奖中奖”为事件A， “第二次抽奖中奖”为事件B，则“两次抽奖都中奖”为事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由事件独立性可得，两次抽奖都中奖的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.002 5.同理“两次抽奖都没有中奖”的概率为P（）＝P（）P（）＝0.95×0.95＝0.902 5；“两次抽奖恰有一次中奖”可以用A∪B表示.由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05＝0.095；“两次抽奖至少有一次中奖”可用AB∪A∪B表示.由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，得所求的概率为P（AB）＋P（A）＋P（B）＝0.002 5＋0.095＝0.097 5. 8.　解析：由已知得P（X＝3）＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3，P（X＝10）＝0.6×0.5×0.4＝0.12，所以＝. 9.　解析：设事件Ai（i＝1，2，3，4）表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P（C）＝P（＋＋A1A2）＝P（）＋P（A1）＋P（A1A2）＝＋×＋××＝. 10.解：（1）设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C， 则P（A）＝，由题意得 解得或 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为和或和. （2）设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D，则P（D）＝P（A）P（）P（）＋P（）P（B）P（）＋P（）P（）P（C） ＝＋＋＝. 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 11.C　设需要像甲这样的专家的人数为x，要达到破译出密码的概率为99％，则（）x≤，则xlg ≤lg ，即x≥＝≈16.01，故至少需要像甲这样的专家的人数为17. 12.C　记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P（）P（）[1－P（AB）]＝××（1－×）＝，所以灯亮的概率为1－＝.故选C. 13.　解析：由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A片荷叶只有两条途径：第一条：A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A片荷叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝. 14.解：（1）设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝（0.7）2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. （2）消费总额为1 500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002， 消费总额为1 400元的概率是（0.1）2×0.2＋2×（0.2）2×0.1＝0.01， 消费总额为1 300元的概率是（0.1）2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋（0.2）3＋2×（0.2）2×0.1＝0.033， 0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以这三人的消费总额大于或等于1 300元的概率是0.045. 15.解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2， B表示事件：甲需使用设备， C表示事件：丁需使用设备， D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备， E表示事件：同一工作日4人需使用设备， F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D＝A1BC＋A2B＋A2C，P（B）＝0.6，P（C）＝0.4，P（A1）＝2×0.5×0.5＝0.5， P（A2）＝0.5×0.5＝0.25， 所以P（D）＝P（A1BC＋A2B＋A2C）＝P（A1BC）＋P（A2B）＋P（A2C）＝P（A1）P（B）·P（C）＋P（A2）P（B）＋P（A2）P（）P（C）＝0.31. （2）由（1）知，若k＝2， 则P（F）＝0.31＞0.1. 又E＝BCA2， 所以P（E）＝P（BCA2）＝P（B）P（C）·P（A2）＝0.06. 若k＝3，则P（F）＝0.06＜0.1. 所以k的最小值为3. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $