10.1.3 第2课时 古典概型的综合问题(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第二课时　古典概型的综合问题 1.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（　　） A. B. C. D. 2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏只输入一次密码就能够成功开机的概率是（　　） A. B. C. D. 3.将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（　　） A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 4.（2025·潍坊月考）从数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则剩下的三个数的平均数大于5的概率为（　　） A. B. C. D. 5.〔多选〕甲、乙两人做游戏，则下列游戏规则中公平的有（　　） A.抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为奇数，则甲获胜；若向上的点数为偶数，则乙获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，若恰有一枚正面向上，则甲获胜；若两枚都正面向上，则乙获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，若扑克牌是红花色，则甲获胜；若扑克牌是黑花色，则乙获胜 D.甲、乙两人各写一个数字6或8，若两人写的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜 6.〔多选〕某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案，方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（　　） A.P1＋P2＝ B.P1·P2＝ C.P1＋P2＝ D.P1＞P2 7.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为　　　　. 8.（2025·台州月考）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为　　　　. 9.某林场在海拔（单位：米）0至2 500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在[0，500），[1 000，1 500）的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率. （1）根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数； （2）从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在[1 000，1 500）内的概率. 10.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.1 11.某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高（单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间），将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，则｜x－y｜≤5的概率为（　　） A. B. C. D. 12.如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率为　　　　. 13.随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人.某“网红”甜品店出售几种甜品，为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了本店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得到如下表格： 甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品 销售总额 （万元） 10 5 20 20 12 销售量 （千份） 5 2 10 5 8 利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 （利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x1元，销售一份B甜品获利x2元，销售一份C甜品获利x3元，销售一份D甜品获利x4元，销售一份E甜品获利x5元，设＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过元的概率. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　古典概型的综合问题 1.C　记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为a，b，c，d，则样本空间Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，记事件A表示“其中一个节气是立春”，则A＝{（a，b），（a，c），（a，d）}，所以P（A）＝＝.故选C. 2.C　∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，正确的开机密码只有1种，∴所求概率为. 3.C　2个1和3个0随机排成一行，样本点有00011，00101，01001，10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共10个；其中2个1不相邻的有00101，01001，10001，10010，10100，01010，共6个样本点，所以所求概率为P＝＝0.6. 4.C　从5个数中随机删去的两个数有（1，3），（1，5），（1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5，7），（5，9），（7，9），共10个样本点，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是（1，3），（1，5），（1，7），（3，5），共有4个样本点，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P＝＝. 5.ACD　选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，故游戏规则公平；选项B中，甲获胜的概率是，而乙获胜的概率是，故游戏规则不公平；选项C中，扑克牌是红花色与扑克牌是黑花色的概率相等，故游戏规则公平；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，故游戏规则公平.故选A、C、D. 6.BCD　按照发车的序号，样本空间包含的样本点为：123，132，213，231，312，321，共6个，方案一坐到“3号”车，包含的样本点有：132，213，231，共3个，所以方案一坐到“3号”车的概率为P1＝＝.方案二坐到“3号”车，包含的样本点有：312，321，共2个，所以方案二坐到“3号”车的概率为P2＝＝.所以P1·P2＝，P1＋P2＝，P1＞P2，B、C、D选项正确，A选项错误.故选B、C、D. 7.　解析：从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图所示. 样本点总数为25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10个，故所求的概率为＝. 8.　解析：用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4，1与8，共2种不同的组合，其和分别为5，9；第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3，2与7，6与3，6与7，共4种不同的组合，其和分别为5，9，9，13，故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数，有2＋4＝6（种）不同的组合，其中两个数的和不小于9的有4种，所以这两个数的和不小于9的概率为＝. 9.解：（1）计算各组对应的频率，海拔在[0，500）的频率为0.000 2×500＝0.1， 海拔在[500，1 000）的频率为0.000 6×500＝0.3， 海拔在[1 000，1 500）的频率为0.000 8×500＝0.4， 故海拔在[0，1 000）的频率为0.4， 海拔在[0，1 500）的频率为0.8， 所以中位数在[1 000，1 500）内， 故该林场树木海拔的中位数为1 000＋×500＝1 125（米）. （2）从海拔在[0，500），[1 000，1 500）的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查， 故从海拔在[0，500）的树中抽取×5＝1（棵）， 从海拔在[1 000，1 500）的树中抽取5－1＝4（棵）， 设抽取的海拔在[0，500）的树为A，海拔在[1 000，1 500）的树为B1，B2，B3，B4， 故从这5棵树中随机选择3棵的可能结果有（A，B1，B2），（A，B1，B3），（A，B1，B4），（A，B2，B3），（A，B2，B4），（A，B3，B4），（B1，B2，B3），（B1，B2，B4），（B1，B3，B4）（B2，B3，B4），共10种， 其中有且仅有2棵海拔在[1 000，1 500）内的可能结果有（A，B1，B2），（A，B1，B3），（A，B1，B4），（A，B2，B3），（A，B2，B4），（A，B3，B4），共6种， 故有且仅有2棵海拔在[1 000，1 500）内的概率为＝. 10.C　因为a∈A，b∈A，所以（a，b）的结果可用列表法得到，样本点的总个数为9（如表所示）. 　　b a　　 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 因为A∩B＝B，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝⌀时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为. 11.A　由频率分布直方图，可知身高在[180，185）的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190，195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组（x，y）表示样本点，设事件M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180，185），则M＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6种情况；若x，y∈[190，195]，则M＝{（A，B）}，共1种情况；若x∈[180，185），y∈[190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），则M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8种情况，所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝. 12.　解析：由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为（3→1→3→1），（3→1→3→2），（3→1→3→4），（3→1→3→5），（3→2→3→2），（3→2→3→1），（3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4），（3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5），（3→5→3→5），（3→5→3→1），（3→5→3→2），（3→5→3→4），共16个，满足题意的样本点为（3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3个.由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率为. 13.解：（1）由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份， 设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A， 则P（A）＝.故所求的概率为. （2）由题意得甜品A，B，C，D，E分别获利为8，5，3，10，3. 所以＝＝，故A甜品和D甜品获利超过，从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同甜品，共含有10个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.设“至少有一种甜品获利超过元”为事件M，则事件M包含7个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，所以至少有一种甜品获利超过元的概率为P（M）＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $