10.1.2 事件的关系和运算(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

10.1.2　事件的关系和运算 1.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（　　） A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A⊆B D.A⊇B 2.从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（　　） A.至多有一件次品 B.两件全是正品 C.两件全是次品 D.至多有一件正品 3.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　） A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 4.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点个数分别为（　　） A.1，6 B.4，2 C.5，1 D.6，1 5.设A，B为随机事件，则下列阴影部分表示事件∩B的是（　　） 6.〔多选〕从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（　　） A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个事件都互斥 D.A与B对立 7.〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系正确的是（　　） A.A∩D≠⌀ B.B∩D＝⌀ C.A∪B＝B∪D D.A∪C＝D 8.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路有故障的事件为　　　　　；表示电路无故障的事件为　　　　. 9.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2和4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是　　　　. 10.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E. （1）试判断事件A与事件B，C，E的关系； （2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系. 11.盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（　　） A.“至少有1个白球”和“至多有1个白球” B.“至少有1个白球”和“至少有1个红球” C.“至少有1个白球”和“没有白球” D.“至少有1个白球”和“红球、黑球各1个” 12.〔多选〕从1，2，3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（　　） A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数 C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数 13.（2025·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝　　　　.（用B，C，D间的运算关系式表示） 14.有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题： （1）请列举出具有包含关系的事件； （2）用并事件的定义判断上述事件中哪些是并事件； （3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件. 15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生. （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； （2）用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.2　事件的关系和运算 1.C　事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，所以A⊆B.故选C. 2.B　从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品. 3.B　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的对立事件是所取的3个球中白球多于1个，结合选项知事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球. 4.C　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，其中事件A包含的样本点有（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，事件B包含的样本点有（1，3），（2，4），共2个.所以事件A＋B包含的样本点有（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个.事件AB包含的样本点有（2，4），共1个.故选C. 5.B　对于A，阴影部分表示A∩，故A错误；对于B，阴影部分表示∩B，故B正确；对于C，阴影部分表示A∪B，故C错误；对于D，阴影部分表示（A∩）∪（∩B），故D错误. 6.ABC　由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正品，两件次品一件正品，共两个样本点，所以事件A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，即任何两个事件都互斥，故A、B、C都正确；A与B互斥，由于样本空间中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个样本点，所以事件A与B不对立，故D错误. 7.ABD　由题意得，事件C＝“第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中”，事件D＝“恰有一枚击中或两枚都击中”.对于A，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∩D＝A，A正确；对于B，由事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得事件B与事件D是互斥事件，所以B∩D＝⌀，B正确；对于C，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪B不是必然事件，B∪D为必然事件，所以A∪B≠B∪D，C不正确；对于D，事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪C＝D，D正确.故选A、B、D. 8.E∪F　∩　解析：因为该电路为两个电子元件串联，如图所示， 由题意知＝“甲元件无故障”，＝“乙元件无故障”，则表示电路有故障的事件为E∪F，表示电路无故障的事件为∩. 9.A与C 10.解：（1）事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个样本点， 所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A＝B∪C∪E. （2）“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个样本点，可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点，即“一次正面向上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C. 11.D　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A、B；C中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件但不是对立事件. 12.ABD　根据题意，从1，2，3，…，9中任取两个数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”，共三种情况，依次分析所给的4个事件.对于A，恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”的情况，不是对立事件；对于B，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”不是对立事件；对于C，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”是对立事件；对于D，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件. 13.B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD）） 解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用关系式表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用关系式表示为（BC）∪（BD）. 14.解：（1）“至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A⊆C. 同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D. （2）由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F，D＝A∪B∪E. （3）由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. 15.解：（1）区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”. （2）①A∪B∪C. ②A＋B＋C. ③. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $