8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第一课时　直线与平面垂直的判定 1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能推出该直线与平面垂直为真命题的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 2.若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 3.若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（　　） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（　　） A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 5.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B.m⊥b，b∥α C.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α 6.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC 7.〔多选〕如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是（　　） A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 8.设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有　　　　条. 9.（2025·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是　　　　. 10.如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC.点P在圆O所在平面上的射影为点D，PD＝DB. （1）求证：CD⊥平面PAB； （2）求直线PC与平面PAB所成的角. 11.如图所示，设四面体A-BCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（　　） 12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是（　　） A.直线BD1⊥平面A1C1D B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 13.已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q为棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为　　　　. 14.已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1，求证：OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线. 15.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱）中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 1.C　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能推出直线与平面垂直.而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件. 2.B　设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC（图略），AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC中点为O，由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B. 3.D　如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，PA，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心. 4.C　因为AB⊥α，l⊂α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l⊂β，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以l⊥AC. 5.D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D. 6.ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正确. 7.ABC　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D不正确. 8.2　解析：如图所示，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件. 9.线段B1C　解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，CB1，AC⊂平面B1AC，∴BD1⊥平面B1AC，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1. 10.解：（1）证明：连接CO， 由AD＝DB知，点D为AO的中点. 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 由 AC＝BC知，∠CAB＝60°， 所以△ACO为等边三角形， 故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 又PD，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB. （2）由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角.又△AOC是边长为2的正三角形， 所以CD＝. 在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝， 所以tan∠CPD＝＝，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°， 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 11.B　因为四面体A-BCD是正四面体，所以点B在面ADC上的射影是△ADC的重心，而重心应在EF的下方. 12.ABD　A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项，＝，因为点P在线段B1C上运动，所以＝A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值，最小值为，故C错误；D项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，即点P运动到B1C中点处时，直线C1P与直线BD1所成∠C1BD1的余弦值最大，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确. 13.　解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，当PQ最小时，正切值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面积得××2＝××PQ，解得PQ＝.此时tan θ＝＝. 14.证明：如图，过A作AP⊥α于P，连接OP，OP即为直线OA在平面α内的射影， ∠AOP为直线OA与平面α所成的角. 过P作PM⊥OB于M，PN⊥OC于N，连接AM，AN. 易得OB⊥平面AMP，OC⊥平面ANP， ∵∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1， ∴AM＝AN＝，OM＝ON＝， 易得△PAN≌△PAM， ∴PN＝PM，易得△POM≌△PON， ∴∠POM＝∠PON， ∴OP为∠BOC的平分线. ∴OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线. 15.解：（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B. （2）当点F为BB1的中点时，满足AB1⊥平面C1DF.证明如下： 设F为BB1的中点时，DF与AB1交于点E， 易知A1B1＝，∵AA1＝，∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴DF⊥AB1， ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1. 又DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF. 故当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $