8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第一课时　平面与平面垂直的判定 1.以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角，其中可能为钝角的有（　　） A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个 2.下列命题中正确的是（　　） A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 3.如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　） A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD 5.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是（　　） A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角（非等边）三角形 D.钝角三角形 6.〔多选〕如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C＝，构成三棱锥A'-BCD，则（　　） A.平面A'BD⊥平面BDC B.平面A'BD⊥平面A'BC C.平面A'DC⊥平面BDC D.平面A'DC⊥平面A'BC 7.〔多选〕如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是（　　） A.PA∥平面MOB　　 B.MO∥平面PAC C.OC⊥平面PAC D.平面PAC⊥平面PBC 8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为　　　　. 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　　　　时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 10.（2025·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形. （1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD； （2）求二面角B1-CD-A的余弦值. 11.（2025·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（　　） A.平面EFG∥平面PBC B.平面EFG⊥平面ABC C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 13.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是　　　.（填序号） ①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD； ③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC. 14.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图2所示的六面体ABCDEF.已知折起后AB的中点M到点D的距离为3. （1）求证：平面ABFE⊥平面CDEF； （2）求六面体ABCDEF的体积. 15.如图所示，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0＜λ＜1）. （1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明； （2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.3　平面与平面垂直 第一课时　平面与平面垂直的判定 1.B　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角. 2.C　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确. 3.C　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC是正三角形，所以∠ABC＝60°.故选C. 4.B　因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故选B. 5.A　如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是等边三角形. 6.AD　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故BD＝，易知DC＝，又A'C＝，故A'C2＝A'D2＋DC2，则CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平面A'BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平面A'BC. 7.BD　因为PA⊂平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确.故选B、D. 8.30°　解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝AD＝2，所以CO⊥BD，CO＝.因为CD＝BC，所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD.所以∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝＝＝，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°. 9.DM⊥PC（或BM⊥PC）　解析：由题意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 10.解：（1）证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形，所以AA1⊥AD，AA1⊥AB. 又AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以AA1⊥平面ABCD. 因为AA1⊂平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面ABCD. （2）过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD， 又BH∩BB1＝B，BH，BB1⊂平面BB1H，所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角. 由等面积法可得BH＝1×2，即BH＝，所以B1H＝＝， 故cos∠BHB1＝＝. 11.D　由题意知AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝且∠ABD＝，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，∴AD⊥B1E，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝＝，而∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝. 12.ABC　对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.同理，EG∥平面PBC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG⊂平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BP与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确. 13.①②　解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.分析易知平面PAB与平面PAC，平面PCD均不垂直. 14.解：（1）证明：取EF的中点N，连接MN，DN，MD（图略）.根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，又M，N分别为AB，EF的中点，∴MN⊥EF，MN＝2. 由题意得DN＝＝，又MD＝3，∴MN2＋DN2＝22＋（）2＝9＝MD2， ∴MN⊥DN，又∵EF∩DN＝N，EF，DN⊂平面CDEF，∴MN⊥平面CDEF. 又MN⊂平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF. （2）连接CE（图略），则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C-ABFE＋V三棱锥A-CDE. 由（1）知MN⊥平面CDEF，又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF， ∴BF⊥CF，又CF⊥EF，BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面ABFE，∴CF⊥平面ABFE， ∴V四棱锥C-ABFE＝·S正方形ABFE·CF＝，V三棱锥A-CDE＝·S△CDE·AE＝， ∴V六面体ABCDEF＝＋＝. 15.解：（1）EF⊥平面ABC.证明如下： ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD， 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴CD⊥平面ABC. 在△ACD中，＝＝λ（0＜λ＜1）， ∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC. （2）存在.∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC， ∴BE⊥CD，故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC. 在Rt△BCD中，BC＝CD＝1， ∴BD＝. 在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BD·tan 60°＝，则AC＝＝， 当BE⊥AC时，BE＝＝， AE＝＝，则＝＝， 即λ＝＝时，BE⊥AC， 又BE⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BE⊥平面ACD. ∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD. ∴存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，此时λ＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $