6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 1.C　∵a＝（1，－1），b＝（－1，2），∴2a＋b＝（1，0），∴（2a＋b）·a＝1×1＋0×（－1）＝1. 2.B　cos ＝＝＝－，｜n｜＝1.故选B. 3.A　由题设知＝（8，－4），＝（2，4），所以·＝8×2＋（－4）×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形. 4.B　因为a＝（－2，－1），b＝（1，2），所以a在b上的投影向量为·＝×（1，2）＝（－，－），所以c＝（－，－）.因为a＋b＝（－1，1），所以c·（a＋b）＝－＝－.故选B. 5.ACD　对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，易得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝＝＝2，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D. 6.ACD　若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D. 7.－1　解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1. 8.1或－　解析：由题意可得a－λb＝（2－λ，－2λ），所以｜a－λb｜＝＝，解得λ＝1或λ＝－. 9.　解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即（4－0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴＝（4，2），＝（2，6），设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴与的夹角为. 10.解：（1）a＋2b＝（5，0），a－b＝（－4，3）， ｜a－b｜＝＝5. （2）a·（a－b）＝10， ｜a｜＝＝， cos＜a，a－b＞＝＝＝. 11.B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2. 12.A　连接AE，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），设P（x0，y0），则－1＜x0＜3.＝（2，0），＝（x0，y0），则·＝2x0∈（－2，6）.故选A. 13.（3，0）　解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）. 14.解：（1）因为（a＋b）⊥（a－λb），所以（a＋b）·（a－λb）＝0. 因为a＝（2，0），b＝（，），所以a＋b＝（，），a－λb＝（2－λ，－λ），所以（a＋b）·（a－λb）＝7－6λ＝0，解得λ＝. （2）由已知可得（ka＋b）·（2a－b）＜0，且ka＋b与2a－b不共线，易得ka＋b＝（2k＋，），2a－b＝（，－）， 由（ka＋b）·（2a－b）＜0，可得（2k＋）×＋×（－）＜0，解得k＜－. 若ka＋b与2a－b共线，则（2k＋）×（－）＝×，解得k＝－2， 所以由ka＋b与2a－b不共线可得k≠－2，所以k的取值范围为{k｜k＜－且k≠－2}. 15.解：（1）如图所示， 记t＝OA，a＝（－y1，x1），则容易验证，a是与垂直的单位向量. 过B作BD⊥OA于点D.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知BD＝｜a·｜， 因此，△OAB的面积为 S△OAB＝AO×BD＝AO×｜a·｜ ＝t×｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝｜（－y1，x1）·（x2，y2）｜ ＝｜x1y2－x2y1｜. 所以S△OAB＝｜x1y2－x2y1｜. （2）由于以OA，OB为邻边的平行四边形OACB被AB分为两个全等的三角形，所以S▱OACB＝｜x1y2－x2y1｜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 1.向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 2.已知向量m＝（1，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则｜n｜＝（　　） A.－1 B.1 C.2 D.－2 3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.已知向量a＝（－2，－1），b＝（1，2），若a在b上的投影向量为c，则c·（a＋b）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 5.〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的是（　　） A.（a＋b）⊥a B.｜2a＋b｜＝ C.向量a，b的夹角为 D.a·b＝－10 6.〔多选〕已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（　　） A.若a∥b，则tan θ＝－ B.若a⊥b，则sin θ＝ C.｜a－b｜的最大值为6 D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2 7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝　　　　. 8.已知a＝（2，0），b＝（1，2），实数λ满足｜a－λb｜＝，则λ的值为　　　　. 9.设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为　　　　. 10.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）. （1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜； （2）求向量a与a－b的夹角的余弦值. 11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　） A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 12.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是（　　） A.（－2，6） B.（－6，2） C.（－2，4） D.（－4，6） 13.已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为　　　　. 14.已知向量a＝（2，0），b＝（，）. （1）若（a＋b）⊥（a－λb），求实数λ的值； （2）若ka＋b与2a－b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 15.在平面直角坐标系xOy中，给定A（x1，y1），B（x2，y2），假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示. （1）你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？ （2）以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积用A，B的坐标怎样表示？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $