6.2.4 第2课时 向量数量积的运算及应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第二课时　向量数量积的运算及应用 1.已知单位向量a，b，则（2a＋b）·（2a－b）的值为（　　） A. B. C.3 D.5 2.若向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则｜a＋b｜＝（　　） A.3 B.2 C.10 D. 3.已知向量b在单位向量a上的投影向量为－4a，则（a＋b）·a＝（　　） A.－3 B.－1 C.3 D.5 4.已知a，b，c均为单位向量，且2a＝3b＋4c，则a与b的夹角的余弦值为（　　） A. B.－ C. D.－ 5.〔多选〕已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是（　　） A.｜a＋b｜＝1 B.a⊥b C.（4a＋b）⊥b D.a·b＝－1 6.〔多选〕若向量a，b满足｜b｜＝1，且（a＋b）⊥b，（a＋2b）⊥a，则下列命题正确的是（　　） A.a·b＝－1 B.a与b的夹角为 C.｜a｜＝ D.a在b方向上的投影数量为1 7.如图所示，A，B是圆O上的两点，若弦AB的长为2，则·＝　　　　. 8.已知向量a与e的夹角为30°，｜a｜＝4，e为单位向量，则a在e上的投影向量的模与e在a上的投影向量的模分别为　　　　、　　　　. 9.已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点P为△ABC所在平面内一点，且AP⊥BC.若＝＋λ，则实数λ＝　　　　. 10.已知平面向量a，b，若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且｜a－b｜＝. （1）求a与b的夹角θ； （2）若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及｜c｜. 11.〔多选〕如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中∠A＝30°，且B，C，D三点共线，则下列结论成立的是（　　） A.＝ B.·＝0 C.与共线 D.·＝· 12.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为　　　　. 13.设非零向量a与b的夹角是，且｜a｜＝｜a＋b｜，则的最小值是　　　　. 14.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. （1）求证：（a－b）⊥c； （2）若｜ka＋b＋c｜＞1（k∈R），求k的取值范围. 15.已知平面上三个单位向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，e是该平面上任意的单位向量. （1）求（e－a）·（e－b）＋（e－b）·（e－c）＋（e－c）·（e－a）的值； （2）求2｜e·a｜＋3｜e·b｜＋4｜e·c｜的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二课时向量数量积的运算及应用 1.C由题意得(2a+b)·(2a-b)=4a2-b2=4-1=3.故选C. 2.D.(a-b)⊥a,∴.(a-b)·a=|a2-a·b=0,∴.a·b=|a|2=2,∴.|a+b|2=a2+ 2a·b+b2=10,.|a+b|=V10 3.A:向量b在单位向量a上的没影向量为-4a,1al=1,1bcos<awb>·高=帝a= (a·b)a=-4a,.∴.a·b=-4,∴.(a+b)·a=2+a·b=1-4=-3. 4.D因为a,b,c均为单位向量，且2a=3b+4c,所以2a-3b=4c,则(2a一3b)2=(4c)2, 即4a2-12a·b+9b2=16c2,即4-12cos<a,b>+9=16,解得cos<a,b>=-年，即a与b的 夹角的余弦值为一.故选D. 5.CD分析知|a|=1,|b1=2,a与b的夹角是120°，故B错误；，(a十b)2=|a|2+ 2a·b+1b12=3,.|a十b|=V3,故A错误；：(4a十b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos120 °十4=0，∴.(4a十b)⊥b,故C正确；a·b=1×2×cos120°=-1，故D正确. 6.AC由(a十b)⊥b得a·b+b2=0,即a·b+1=0,所以a·b=-1,故A正确；由(a十2b) ⊥a得2a·b十a2=0,即a2=2,所以|a|=V2,故C正确：设向量a,b的夹角为0，则cos0= 品=痘=一号，又0E[0,],所以0=要，故B错误：a在b方向上的投影数量为1acos9= 普=子=一1，故D错误. 7.2解析：过点O作OD LAB于点D(图略). 法-IA0|cos∠OAD=|AD|=克|AB|=1,AB·A0=|AB|·IA0|cos∠OAD=2. 法二AB·Aò=AB·(A+Dò)=AB·A+AB·D0=IAB|IAD|cos0°+0=2. 8.25号解析：由投影向量的定义可知，a在e上的投影向量的模为11a1c0s301=4×号 =2W5,e在a上的投影向量的模为11ee0s30°1-号 9.号解析：由题意，知|AB|=3,|AC|=2,AB·AC=3×2×cos120°=-3.因为AP1 BC,所以A·B元=0.又A=AB+AC,BC=AC-AB,所以AP·B元=(AB+AC) ·(A元-AB)=(1-)AB·AC-AB2+元AC=-3(1-)-32+入·22=71-12=0，所以1= 号. 10.解：(1)由|a-b1=7,得a2-2a·b+b2=7, 1/3 ·独家授权侵权必究 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .∴.1-2×1×2×c0s0+4=7, ∴cos0=-克 又0∈[0，]，0=. (2).a⊥c,∴.a·(ta+b)=0, .ta2+a…b=0,.t十1×2X(-支)=0， ∴.t=1, c=a+b,c2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×(-支)+4=3， .I el =v3, 11.ABC设BC=DE=m,因为∠A=30°，且B,C,D三点共线，所以∠ACB=∠CED=60°， ∠ACE=90°，CD=AB=5m,AC=EC=2m,所以CD=V3B武，CA·C2=0,AB∥D2,故 A、B、C成立；CA·CB=2m·m·cos60°=m2,C2·CD=2m·V3m·cos30°=3m2,故CA· CB=C龙·CD不成立.故选A、B、C. l2.{k|k>0且k≠1}解析：因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角，所以(e1+ke2)·(ke1+e2) =ke+ke+(2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.但当e1+ke2与ke1+e2的夹角为0时不符合题 意，此时设e1+ke2=入(ke1+e2),>0,得k=l,故k≠1.综上，k的取值范围为{k|k>0且k≠ 1}. 13.号解析：因为非零向量a与b的夹角是要，且1al=1a+b1,所以1a2=1a+b12=1 a12+1b12+2|a|1b1cos晋，所以1b12-V51a|1b1=0.因为1b1≠0，所以1b1= 51a,所以(2)出迪_B=-2计专=-1D计，所 b 3a2 以当=1时，钟取得最小值，最小值是V-号 14.解：(1)证明：，|a|=|b|=1c|=1,且4，b,c之间的夹角均为120°， ∴.(a-b)·c=a·c-b·c=|a|·|c|cos120°-|b|·|c|cos120°=0，.(a-b)⊥ (2).'|ka+b+c|>1÷|ka+b+c|2>1台(ka+b+c)2>1, ∴.22+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. :ab=a·c=b·c=cos120°=-支， ∴2-2k>0,.k<0或k>2. 2/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.k的取值范围是（一∞，0）U(2,+∞). 15.解：(1)由a十b十c=0,得(a十b)2=(-c)2=1,即a·b=-专，同理可得a·c=c·b= -, 则(e-a)·(e-b)+(e-b)·(e-c)+(e-c)·(e-a)=3-是-2(a+b+c)·e= (2)(2|e·a|+3|e·b|+4|e·c|）ma =max{|2e·a+3e·b+4e·c|,|2e·a+3e·b-4e·c|,|2e·a-3e·b+4e·cl,|- 2e·a+3e·b+4e·c|} =max{|(2a+3b+4c)·e|,1(2a+3b-4c)·e|,|(2a-3b+4c)·e|,|(-2a+3b +4c)·e|} ≤max{|2a+3b+4c|,|2a+3b-4c|,|2a-3b+4c|,|-2a+3b+4c|} =max{W5,V43,39,V31 =V43, 此时e与2a十3b-4c共线. 3/3 ·独家授权侵权必究·