10.3 频率与概率(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，通过频率的稳定性（结合抛掷硬币试验数据）、游戏的公平性（如摸球数字比较）、随机模拟（蒙特卡洛方法）三个递进模块，构建从概念理解到应用实践再到方法拓展的学习支架。 该资料以真实试验数据（如射击击中靶心频率表）培养数据分析能力，通过游戏公平性问题（转盘数字和奇偶判断）发展数学抽象与逻辑推理，随机模拟案例强化数学建模。课中助力教师引导学生从数据到规律探究，课后训练题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

10.3　频率与概率 知识点一 问题1　提示：P（A）＝0.5，试验次数n相同，频率fn（A）可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 知识梳理 随机性　增大　缩小　稳定性　 知识点三 问题2　（1）提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了. （2）提示：①建立概率模型； ②进行模拟试验（可用计算器或计算机进行）； ③统计试验结果. 知识梳理 2.频率　概率 10.3　频率与概率 【例1】　（1）D　“本市明天降雨的概率是90％”即为“本市明天降雨的可能性为90％”.故选D. （2）解：①表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. ②由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9. 训练1　解：（1）根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951. （2）由（1）可知抽取的乒乓球优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故可以估计“抽取的是优等品”的概率是0.95. 【例2】　解：（1）记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况， 则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为＝. （2）不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况， 故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平. 训练2　解：该方案是公平的，理由如下： 各种情况如下表所示： 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝， （2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的， 所以该方案对双方是公平的. 【例3】　解：用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数，用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球. （1）统计随机数个数N及小于6的个数N1，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值. （2）三个数一组（每组内可重复），统计总组数K及三个数都小于6的组数K1， 则即为任取三球（分三次，每次放回再取），都是白球的概率的近似值. 训练3　解：（1）表示恰有三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组，而随机数总共20组，用频率估计概率得，所求的概率约为＝. （2）在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，234，214，442，共4组，用频率估计概率，则估计恰好在第3次停止摸球的概率近似为＝. 随堂检测 1.A　在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于P（A），所以可以用近似的代替P（A），即P（A）≈.故选A. 2.B　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值. 3.B　某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为＝0.56；由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故出现正面朝上的概率为0.5. 4.500　解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3　频率与概率 1.结合具体实例，会用频率估计概率（数学抽象、数据分析）. 2.了解随机数的意义，会用模拟法估计概率，理解用模拟法估计概率的实质（数学建模）. 　　 知识点一｜频率的稳定性 问题1　利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn（A），结果如表所示： 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 你能计算出事件A的概率吗？频率与概率有什么关系？ 【知识梳理】 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有　　　.一般地，随着试验次数n的　　　　，频率偏离概率的幅度会　　　　，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的　　　　.因此，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）. 　　提醒：频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值，概率是一个确定的数，与每次的试验无关. 【例1】　（1）气象台预测“本市明天降雨的概率是90％”，对预测的正确理解是（　　） A.本市明天将有90％的地区降雨 B.本市明天将有90％的时间降雨 C.明天出行不带雨具肯定会淋雨 D.明天出行不带雨具可能会淋雨 （2）某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 ①填写表中击中靶心的频率； ②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？ 【规律方法】 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2.解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率. 训练1　下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表： 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 （1）计算各组优等品频率，填入上表； （2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率. 知识点二｜游戏的公平性 【例2】　（链接教材P256例2）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4. （1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上所标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率； （2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由. 【规律方法】 游戏公平性的标准及判断方法 （1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的； （2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较. 训练2　某校高一年级（1）、（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？ 知识点三｜随机模拟 问题2　（1）用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ （2）随机模拟的步骤是怎样的？ 【知识梳理】 1.产生随机数的方法 （1）利用计算器或计算机软件产生随机数； （2）构建模拟试验产生随机数. 2.随机模拟方法（蒙特卡洛方法） 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的　　　　来估计　　　　，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 　　提醒：利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形. 【例3】　（链接教材P259例3、P260例4）盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率： （1）任取一球，得到白球； （2）任取三球（分三次，每次放回再取），都是白球. 【规律方法】 1.利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点 （1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题； （2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题. 2.利用随机模拟试验估计概率的两个关注点 （1）当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点； （2）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 训练3　（1）通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884 2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725 6576　5929　9768　6071　9138　6754 如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，求四次射击中恰有三次击中目标的概率； （2）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 131　432　123　233　234　122　332　141　312 241　122　214　431　241　141　433　223　442 由此估计恰好在第3次停止摸球的概率. 1.在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P（A）与的关系是（　　） A.P（A）≈ B.P（A）＜ C.P（A）＞ D.P（A）＝ 2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（　　） A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法 3.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　） A.0.56，0.56 B.0.56，0.5 C.0.5，0.5 D.0.5，0.56 4.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了　　　　次试验. 1.理清单 （1）概率与频率的关系； （2）用频率估计概率； （3）用随机模拟估计概率. 2.避易错 频率与概率的关系易混淆. 提示：完成课后作业　第十章　10.3 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $