1 10.3 频率与概率（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，承接古典概型（等可能事件概率计算），通过分析非等可能事件（如不均匀骰子、图钉抛掷）引出频率与概率的关系，构建从理论概率到用频率估计概率、再到随机模拟的学习支架。 资料以问题驱动导入，结合即时练、例题（如随机模拟估计取球概率、游戏公平性判断），培养学生用数学眼光发现现实问题，用数学思维推理频率稳定性，用数学语言表达概率估计过程。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

10．3　频率与概率 新课导入 学习目标 　　对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率，但对于抛掷不均匀的骰子、抛掷一枚图钉等，其样本点不是等可能发生的，如何求其概率呢？概率大小究竟有什么实际意义呢？能不能被验证呢？对于这些问题数学家们已经进行了深入的研究，这节课，我们就站在巨人的肩上，欣赏概率发展的沿途风景吧！ 1.了解频率与概率的关系. 2．了解随机模拟的基本过程. 3．结合实例，会用频率估计概率． 抛掷一枚质地均匀、形状规范的硬币．随着抛掷次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着抛掷次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在，即正面和反面出现的概率都为. 思考1　 频率是概率吗？ 提示：不是． 思考2　你认为频率与概率之间有什么关系？ 提示：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． [知识梳理] 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1) 事件发生的频率与概率是相同的．(　　) (2) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　) (3)事件的概率越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大．(　　) (4)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(多选)下面说法错误的有(　　) A.设一批产品的次品率为，则从中任取10件，必有1件是次品 B.天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.频率是客观存在的，与实验次数无关；而概率是随机的且与实验次数有关． 解析：选ACD.对于A，次品率描述的是次品的可能情况，故A错误；对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确；对于C，D，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率，所以概率是客观存在的，与实验次数无关，而频率是随机的，与实验次数有关，故C，D错误． 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025次，那么第2 024次出现正面朝上的概率是________． 解析：由概率的性质得无论实验多少次，概率始终不变，故第2 024次出现正面朝上的概率是. 答案： 4．已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为92%，那么在50次运行中，平均准点班次约为________次． 解析：依题意，在50次运行中，平均准点班次约为92%×50＝46. 答案：46 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 思考 　用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ 提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． [知识梳理] 1．随机数的产生 (1)标号：把n个大小、形状、材质相同的小球分别标上1，2，3，…，n； (2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌； (3)摸取：从中摸出一个． 这个球上的数就称为从1～n之间的整数随机数，简称随机数． 2．伪随机数的产生 (1)规则：按照确定的算法产生． (2)特点：具有周期性(周期很长). (3)性质：它们具有类似随机数的性质． 计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数． 3．产生随机数的常用方法 (1)用计算器产生；(2)用计算机产生；(3)抽签法． 4．随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的随机数来估计试验的结果，我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． [例1] (对接教材例3)盒中有大小、材质相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟的方法求下列事件的概率． (1)任取一球，得到白球； (2)任取三球，都是白球． 【解】　用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球． (1)步骤： ①利用计算器或计算机可以产生1～7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n； ②统计这n组数中小于6的组数m； ③任取一球，得到白球的概率估计值是. (2)步骤： ①利用计算器或计算机可以产生1～7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a； ②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b； ③任取三球，都是白球的概率估计值是. 利用随机模拟的方法估计概率的关注点 (1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． (3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复． [跟踪训练1] 由于夏季炎热，某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0，1，2表示停电；用3，4，5，6，7，8，9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据： 28　21　79　14　56　74　06　89　53　90 14　57　62　30　93　78　63　44　71　28 67　03　53　82　47　23　10　94　02　43 根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为____________． 解析：由题意可知，恰有一天停电的情况有28，14，06，90，14，62，30，71，28，03，82，23，共12种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为＝. 答案： [例2] 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到的两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【解】　(1)设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，记从中任取一球，“得到红球或黄球”为事件A，“得到黄球或蓝球”为事件B， 则P(A)＝，P(B)＝， 由已知得解得 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1. (2)由(1)知红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，1， 用r1，r2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球， m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m，n)表示试验的样本点， 则样本空间Ω＝{(r1，r1)，(r1，r2)，(r1，a)，(r1，b)，(r2，r1)，(r2，r2)，(r2，a)，(r2，b)，(a，r1)，(a，r2)，(a，a)，(a，b)，(b，r1)，(b，r2)，(b，a)，(b，b)}． 可得n(Ω)＝16， 记“取到的两个球颜色相同”为事件M，“取到的两个球颜色不相同”为事件N， 则n(M)＝6，所以P(M)＝＝， 所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝， 因为>，所以此游戏不公平． 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则游戏规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． [跟踪训练2] 如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？ 解：列表如下： 　　B A　　 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种． 因为P(指针所指两个数字和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等． 所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的． 1．某篮球运动员进行投球练习，连续投了100次，恰好投进了90次．若事件A＝“投进球”，则事件A发生的(　　) A.概率为0.9 B.频率为90 C.频率为0.9 D.以上说法都不对 解析：选C.投球一次即进行一次试验，投球100次，投进90次，即事件A发生的频数为90，所以事件A发生的频率为＝0.9. 2．(多选)(教材P261T5改编)若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，下列说法不正确的是(　　) A.f(n)与某个常数相等 B.f(n)与某个常数的差逐渐减小 C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定 解析：选ABC.随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，故A，B，C不正确，D正确． 3．在用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生，从中选4人，求选出2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是_____________________． 解析：因为1～4代表男生，5～9代表女生，所以“4678”代表的含义是选出的4个人中，只有1个男生． 答案：选出的4个人中，只有1个男生(答案不唯一，表达出“1个男生，3个女生”的意思即可) 4．(教材P257T2改编)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 解：分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12个样本点，甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.因为＜，所以此游戏不公平． 1．已学习：概率的实际意义、用频率估计概率、游戏的公平性，随机模拟． 2．须贯通：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．随着试验次数的增加，频率会越来越稳定于概率，在实际问题中，事件的概率通常是未知的，常用频率估计概率；随机模拟可以省时、省力地估计事件的概率． 3．应注意：频率与概率的关系；随机模拟可得到事件概率的近似值． 学科网（北京）股份有限公司 $