9.2.2 总体百分位数的估计(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦“总体百分位数的估计”核心知识点，系统梳理百分位数定义（含四分位数）、样本数据计算步骤（排序、算i值、确定位置）及统计图表估计方法，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 资料以实例（居民用水、珍珠质量等）驱动，通过问题探究、例题训练培养数学抽象与数据分析能力，结合规律方法总结与变式练习深化理解。课中辅助教师系统授课，课后知识清单与作业助力学生查漏补缺，提升数学运算与应用意识。

9.2.2　总体百分位数的估计 知识点一 问题　提示：寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80％，大于a的占20％. 方案如下： 把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个数据和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7. 知识梳理 1.p％　小于或等于　 2.四分位数 知识点二 知识梳理 从小到大　n×p％　j　平均数 9.2.2　总体百分位数的估计 【例1】　AC　一个总体的25％分位数，50％分位数，75％分位数是总体的四分位数，有3个，故B错误；90％是指能够考取本科院校的同学与同学总数的百分比，故D错误；A、C正确. 训练1　（1）B　（2）C　解析：（1）根据第p百分位数的定义可知B正确. （2）根据百分位数的概念可知，将这2 026个互不相同的实数从小到大排列后，其上四分位数即为第75百分位数，故a＝c，由于这2 026个互不相同的实数最中间两个数为第1 013和第1 014个数，故中位数b为这两个数的平均数，又第50百分位数也为第1 013和第1 014个数的平均数，故b等于第50百分位数，而第50百分位数小于第75百分位数，故b＜a＝c. 【例2】　解：（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25％＝3，12×75％＝9，12×95％＝11.4， 则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75， 第95百分位数是第12个数据为9.9. （2）因为共有12个数据，所以12×15％＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15％的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g.　 训练2　（1）438.5　451　（2） 解析：（1）将25个样本数据按从小到大排序，可得 357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454. 由80％×25＝20，95％×25＝23.75，可知样本数据的第80百分位数为438.5，第95百分位数为第24项数据，为451. （2）因为30％×6＝1.8，50％×6＝3，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为＝，由题意知n＝30，＝，解得m＝40，所以＝＝. 【例3】　解：（1）由频率分布直方图得（0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a＋a）×0.5＝1，解得a＝0.06. 由频率分布直方图得月均用水量在[0，3）内的频率为1－（0.16＋0.06＋0.06）×0.5＝0.86. ∵计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86％的居民生活用水不超过这个标准. ∴m≈3. （2）由频率分布直方图知，数据在[0，2）内的频率为（0.06＋0.16＋0.30＋0.40）×0.5＝0.46，在[2，2.5）内的频率为0.50×0.5＝0.25， ∴这组数据的50％分位数是2＋×0.5＝2.08（吨）. 变式　解：由例3的频率分布直方图可知，月均用水量在[0，1）内的频率为（0.06＋0.16）×0.5＝0.11，在[1，1.5）内的频率为0.30×0.5＝0.15.所以月均用水量的20％分位数应在[1，1.5）内，设月均用水量的20％分位数为x，则0.11＋（x－1）×0.30＝0.20，解得x＝1.3. 所以月均用水量的20％分位数为1.3（吨）. 训练3　解：由题意知在[80，100）上的频率为0.4，在[100，110）上的频率为0.3，在[110，120）上的频率为0.2，可知第50百分位数一定落在区间[100，110）上， 法一　则100＋10×＝100＋≈103.3； 第75百分位数一定落在区间[110，120）上， 则110＋10×＝110＋＝112.5. 法二　设第50百分位数为m，第75百分位数为n， 则0.4＋（m－100）×0.03＝0.5，解得m≈103.3； 0.7＋（n－110）×0.02＝0.75，解得n＝112.5. 综上可知，第50百分位数和第70百分位数的估计值分别为103.3 cm，112.5 cm. 随堂检测 1.B　把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80％＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5. 2.AC　通过定义知A正确；因为100×75％＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75％分位数，是9.3，则C正确. 3.　解析：样本数据低于10的频率为（0.08＋0.02）×4＝0.40，样本数据低于14的频率为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14）内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝. 4.24 ℃　16 ℃　解析：由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10％＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10％分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，所以7×80％＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80％分位数是第6个数据，为16 ℃. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.2　总体百分位数的估计 1.结合实例，理解百分位数的统计含义（数学抽象）. 2.能用样本估计总体百分位数（数据分析、数学运算）. 　　 知识点一｜百分位数的定义 问题　请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？你能制定一个具体方案吗？ 【知识梳理】 1.第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有　　　　的数据　　　　　　这个值，且至少有（100－p）％的数据大于或等于这个值. 2.四分位数 25％，50％，75％这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为　　　　　　，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 　　提醒：中位数是第50百分位数. 【例1】　〔多选〕下列表述正确的是（　　） A.第p百分位数可以有单位 B.一个总体的四分位数有4个 C.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 D.班主任老师说“90％的同学能考取本科院校”，这里的90％是第90百分位数 【规律方法】 分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息. 训练1　（1）15％分位数的含义是（　　） A.总体中任何一个数小于它的可能性是15％ B.总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15％　 C.总体中任何一个数大于它的可能性是15％ D.总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15％ （2）已知2 026个互不相同的实数，记其上四分位数为a，中位数为b，第75百分位数为c，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜a＝c D.a＝c＜b 知识点二｜由样本数据求百分位数 【知识梳理】 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按　　　　　　排列原始数据； 第2步，计算i＝　　　　　　； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第　　　　项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的　　　　. 【例2】　（链接教材P203例2、P204例3）从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）分别求出这组数据的第25，75，95百分位数； （2）请你找出珍珠质量较小的前15％的珍珠质量. 【规律方法】 总体百分位数估计需要注意的两个问题 （1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键； （2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. 训练2　（1）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：421，399，445，359，415，443，367，454，368，375，392，400，423，405，412，427，414，423，430，388，430，357，434，445，451，则估计该品种小麦亩产的第80百分位数为　　　　，第95百分位数为　　　　； （2）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则＝　　　　. 知识点三｜由统计图表估计百分位数 【例3】　我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86％的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了100户家庭，统计其某年的月均用水量（单位：吨），通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a，m的值； （2）如果我们称m为这组数据的86％分位数，那么这组数据的50％分位数是多少？ 变式　根据本例中的频率分布直方图计算月均用水量的20％分位数. 【规律方法】 由频率分布直方图求百分位数的思路 （1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）； （2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p百分位数为a＋×（b－a）. 训练3　为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？ 1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是（　　） A.90　 　 B.90.5　 　 C.91　 　 D.91.5 2.〔多选〕已知100个数据的75％分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　） A.这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为　　　　. 4.如图是某市2025年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10％分位数为　　　　，日最低气温的80％分位数为　　　　. 1.理清单 （1）百分位数的定义； （2）由样本数据求百分位数； （3）由统计图表估计百分位数. 2.应体会 由统计图表求百分位数时要注意方程思想的应用. 3.避易错 求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列. 提示：完成课后作业　第九章　9.2　9.2.2 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $