8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦平面与平面垂直的判定，先通过二面角的概念、平面角的作法与求法搭建空间角度量的基础，再过渡到面面垂直的定义及判定定理，形成从概念到判定的完整知识支架。 资料以“教室门转动”实例引入，结合例题解析与规律方法总结，如“一作二证三求”步骤培养数学抽象与逻辑推理素养。课中助力教师系统授课，课后通过分层训练与知识清单帮助学生巩固，有效查漏补缺。

8.6.3　平面与平面垂直 第一课时　平面与平面垂直的判定 知识点一 知识梳理 1.半平面　棱　 4.（1）任取　∠AOB　（2）直角 知识点二 问题　提示：通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直. 知识梳理 1.（1）直二面角　 8.6.3　平面与平面垂直 第一课时　平面与平面垂直的判定 【例1】　解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱， ∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°. 训练1　解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知 ∠AMB为二面角A-CD-B的平面角. 设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上. 在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，即所求二面角的平面角的余弦值为. 【例2】　证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 训练2　（1）B　A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确.故选B. （2）证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM. 又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1. 在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝， 又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M， 因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M. 随堂检测 1.C　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个. 2.D　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定. 3.　解析：由图可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角，在Rt△C1BC中，tan∠C1BC＝＝1，又0≤∠C1BC≤π，所以∠C1BC＝. 4.证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，又BD，DC⊂平面BDC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC. 又AD⊂平面ABD，AD⊂平面ACD， 所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　平面与平面垂直的判定 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角（数学抽象、数学运算）. 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直（逻辑推理）. 　　 知识点一｜二面角 【知识梳理】 1.概念：从一条直线出发的两个　　　　所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的　　　　，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 3.记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. 4.二面角的平面角 （1）在二面角α-l-β的棱l上　　　一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的　　　叫做二面角的平面角，如图； （2）二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是　　　　的二面角叫做直二面角. 【例1】　如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小. 【规律方法】 1.求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”. 2.作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点. 训练1　如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的平面角的余弦值. 知识点二｜平面与平面垂直的定义与判定 问题　为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？ 【知识梳理】 1.平面与平面垂直的定义 （1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是　　　　　　，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β； （2）画法： 2.面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 　　提醒：（1）判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线；（2）过平面α外一点，可作无数个平面与已知平面α垂直. 【例2】　如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 【规律方法】 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 训练2　（1）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（　　） A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B.若m∥α，m⊥β，则α⊥β C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β （2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.　 1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（　　） A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（　　） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1，则二面角C1-AB-C为　　　　. 4.如图1所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC为直角，如图2所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC. 1.理清单 （1）二面角及二面角的平面角； （2）平面与平面垂直的定义； （3）平面与平面垂直的判定. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 证明两平面垂直时，在一个平面内找与另一平面垂直的直线的过程中必经证明.若直接找不到时，作辅助线后证明满足垂直. 提示：完成课后作业　第八章　8.6　8.6.3　第一课时 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $