8.4.1 平面(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面的概念、画法及表示，系统梳理点线面位置关系的符号表示，深入阐释平面基本事实及推论，构建从生活实例抽象概念到符号化表达再到逻辑推理的学习支架。 通过问题驱动（如结合湖面、桌面抽象平面特征）和例题训练（如共面、共线证明），培养数学抽象与直观想象素养，课中助力教师引导学生建立空间观念，课后学生可通过训练题巩固，查漏补缺。

8.4.1　平面 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法（数学抽象）. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实（数学抽象）. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系（直观想象）. 　　 知识点一｜平面的概念、画法及表示 问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 【知识梳理】 1.平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周　　　　　　的. 2.平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 图示 3.平面的表示方法 （1）用希腊字母表示，如平面　　　　、平面　　　　、平面γ等； （2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面　　　　； （3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面　　　　，平面　　　　. 　　提醒：一般按逆时针的顺序用大写英文字母标注平行四边形的四个顶点. 【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.平面是绝对的平滑、无厚度、无限延展的抽象的数学概念 B.平面的形状是平行四边形 C.三角形、正六边形、圆也可以表示平面 D.有一个平面的长是50 cm，宽是20 cm 【规律方法】 对平面的理解 （1）“平面”是平的，这是区别“平面”与“曲面”的依据； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据. 训练1　（1）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（　　） A.平面MN B.平面NQ C.平面α D.平面MNPQ （2）下列说法正确的是（　　） A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分 知识点二｜点、线、面之间的关系及符号表示 问题2　如果把空间内的点看作元素，把直线、平面都看作点的集合，那么点、线、面之间的关系怎样表述？能否用符号表示它们的关系？ 【知识梳理】 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 图形语言 符号语言 A在l上 A　　　　l A在l外 A　　　　l A在α内 A　　　　α A在α外 A　　　　α l在α内 l　　　　α l在α外 l　　　　α l，m相交于A 　　　　＝A l，α相交于A 　　　　＝A α，β相交于l 　　　　＝l 　　提醒：符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合符号略有差异.例如，不用l∩m＝{A}来表示直线l，m相交于点A，而是简记为l∩m＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素（点）的集合. 【例2】　用符号表示下列语句，并画出图形： （1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； （2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 【规律方法】 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示； （2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. 　　提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 训练2　（1）如图所示，用符号语言可表述为（　　） A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n （2）画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示平面）： （1）P∈l，P∉α，l∩α＝M； （2）α∩β＝m，P∈α，P∉m； （3）P∈α，P∈β，α∩β＝m. 知识点三｜平面的基本事实及推论 问题3　（1）我们知道，两点确定一条直线，过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？ （2）如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ （3）我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？ 【知识梳理】 1.与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，　　　　　一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的　　　　在一个平面内，那么这条直线在　　　　　　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒　　　 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　　　 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1、2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定 平面的 依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 角度1　点、线共面问题 【例3】　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面. 【规律方法】 证明点、线共面问题的常用方法 （1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 角度2　点共线、线共点问题 【例4】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 【规律方法】 1.证明三点共线的方法 2.证明三线共点的步骤 训练4　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： （1）D，B，F，E四点共面； （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线. 1.〔多选〕下列选项中图形的画法正确的是（　　） A.点A在平面α内 B.直线l在平面α内 C.直线l交平面α于点P D.三个平面两两相交 2.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（　　） A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记作　　　　. 4.（2025·洛阳质检）如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 1.理清单 （1）平面的概念、画法及表示； （2）点、线、面之间的位置关系及符号表示； （3）平面的基本事实及推论. 2.应体会 数形结合思想. 3.避易错 （1）直线l在平面α内，l上的所有点都在α内； （2）平面α与平面β有一个公共点，这两个平面就有无数个公共点，且它们都在同一条直线上，这条直线就是α与β的交线. 提示：完成课后作业　第八章　8.4　8.4.1 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 知识点一 问题1　提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等. 知识梳理 1.无限延展 3.（1）α　β　（2）ABCD　（3）AC　BD 知识点二 问题2　提示：点与直线（平面）的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；直线与平面的关系是集合与集合间的关系，用“⊂”或“⊄”表示. 知识梳理 ∈　∉　∈　∉　⊂　⊄　l∩m　l∩α　α∩β 知识点三 问题3　（1）提示：无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面. （2）提示：不在；在. （3）提示：不是.三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌面，两个平面相交于一条直线. 知识梳理 1.有且只有　两个点　这个平面内　l⊂α　公共直线 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 【例1】　AC 训练1　（1）A　（2）D　解析：（1）不能用相邻两个顶点表示平面. （2）A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分. 【例2】　解：（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图. （2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图. 训练2　（1）A （2）解：如图所示. 【例3】　证明：法一（同一法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内. 因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β. 因为C∈c，c⊂β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内. 由推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α. 所以a，b，c，l共面. 法二（纳入法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α. 因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，所以l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内. 同理可证c在a，l确定的平面内. 因为过a与l只能确定一个平面， 所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面. 训练3　证明：法一（纳入法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（同一法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 【例4】　证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α且M∈β，又因为α∩β＝l， 所以M∈l，即AB，CD，l共点. 训练4　证明：（1）如图所示，连接B1D1. 因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD， 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C， 设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点. 所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 随堂检测 1.ACD　由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A、C、D对，B选项中直线应画在平行四边形里面.故选A、C、D. 2.A　空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件. 3.Q∈b⊂α　解析：因为点Q在直线b上，所以Q∈b.又因为直线b在平面α内，所以b⊂α，所以Q∈b⊂α. 4.证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R， 所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR， 所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α， 所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $