6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一｜实际问题中有关名词、术语 【知识梳理】 1.基线的概念与选取原则 （1）基线：根据测量的需要而　　　　　　叫做基线； （2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 3.仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角. 【例1】　（1）若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上 （2）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　） A.a km B.a km C.a km D.2a km 【规律方法】 1.仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆. 2.方位角中的顺时针易错记为逆时针. 训练1　如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为　　　　m. 知识点二｜测量距离问题 【例2】　（链接教材P49例9）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 【规律方法】 解决测量距离问题时要选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解.构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中，挖掘建模图形的性质，或寻找合适的三角形，这样会使问题求解更简单. 训练2　如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°，AB＝60 m，则河的宽度CD＝（　　） A.30（3＋）m B.30（3－）m C.20（＋3）m D.30（－1）m 知识点三｜测量高度问题 【例3】　（链接教材P49例10）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m B.20 m C.20 m D.20 m 【规律方法】 测量高度问题的解题策略 （1）“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测量高度问题转化为平面上解三角形的问题； （2）“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 训练3　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝　　　　m. 知识点四｜测量角度问题 【例4】　（链接教材P50例11）甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 【规律方法】 测量角度问题画示意图的基本步骤 训练4　〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B和D，B在D的正北方向，距离为2 n mile，在某天10：00观察到某船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5 min后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则（　　） A.观测点B位于A的北偏东75°方向 B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 n mile C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 n mile D.该船由C行驶至A行驶了 n mile 海伦——秦九韶公式 在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式S＝，这里p＝（a＋b＋c）.但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron，约1世纪）的名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261年）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，就是S＝. 秦九韶独立推出了“三斜求积”公式.它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平. 【迁移应用】 1.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，b＋c＝10.则△ABC的面积最大值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 2.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝（其中p＝）；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦—秦九韶公式.现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　） A.8 B.4 C.6 D.12 1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　） A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（　　） A.50 m B.50 m C.25 m D. m 3.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得α＝75°，β＝60°，CD＝20 m，在点C处测得塔顶A的仰角为θ＝60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m B.20 m C.30 m D.10 m 4.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进，侦察艇以14 n mile/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为　　　　h，角α的正弦值为　　　　. 1.理清单 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案. 2.应体会 求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法. 3.避易错 测量中有关术语的含义，如方位角、方向角. 提示：完成课后作业　第六章　6.4　6.4.3　第四课时 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一 知识梳理 1.（1）确定的线段　 3.（2）以上　（3）以下 第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 【例1】　（1）C　（2）A　解析：（1）如图所示. （2）在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A. 训练1　30　解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30（m）. 【例2】　解：在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝＝40. 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°. 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA ＝（20）2＋（40）2－2×20×40cos 60°＝2 400， ∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20 m. 训练2　B　由题意得∠ACB＝180°－45°－60°＝75°，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝60（－1）（m），故CD＝BCsin∠CBA＝60（－1）×＝30（3－）（m）.故选B. 【例3】　D　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，在△BCD中，＝，可得BC＝20 m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，则AB＝20 m.故选D. 训练3　150　解析：由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100（m），所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150（m）. 【例4】　解：如图所示.设经过t小时两船在C点相遇， 易知BC＝at海里，AC＝at海里，B＝120°， 由＝， 得sin∠CAB＝＝， 又0°＜∠CAB＜60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 训练4　ACD　A中，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因为B在D的正北方向，所以B位于A的北偏东75°方向，故A正确；B中，在△BCD中，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，∠CBD＝45°，BD＝2 n mile，所以BC＝2 n mile，故B错误；C中，在△ABD中，∠ADB＝60°，∠BAD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，即AB＝＝ n mile，故C正确；D中，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝6＋8－2××2×＝2，则AC＝ n mile，故D正确.故选A、C、D. 教材挖掘 迁移应用 1.D　依题意，p＝＝8，则S＝＝ 4＝4，所以b＝5时，Smax＝12，所以△ABC的面积最大值是12.故选D. 2.C　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，∴a∶b∶c＝2∶3∶，∵△ABC周长为10＋2，即a＋b＋c＝10＋2，∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p＝＝5＋，∴△ABC的面积S＝＝6.故选C. 随堂检测 1.D　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D. 2.A　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50（m）. 3.C　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，则BC＝＝＝10 （m），在Rt△ABC中，AB＝BC·tan θ＝10×＝30（m）.故选C. 4.2　　解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.在△ABC中，根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos 120°，解得x＝2或x＝－（舍），故AC＝28 n mile，BC＝20 n mile，根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $