6.4.3 第2课时 正弦定理-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

四重难点拨 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而 运动的叠加也用到向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决 向量问题，最后再获得物理结果 ②用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的 加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解」 黑题应用提优 1.C解析：5秒后点P的坐标为(-10,10)+5(4，-3)=(10，-5). 2.C解析：设A=AA店，AD1CF,A.C市=0. 又D是cB边的中点，市-（成+） (花+)·(-=0，（成(a-=0(d 1)A店，A花+AA-A衣=0.：AC=BC=1,∠ACB=90°，AB= √2+1下=2，且∠CAB=45°，.1A元12=1，AB12=2,AB.A花=1× 万x号1，代人得（4-1)+2以-1=0架A子亦子应 吸=寸48=号 3.D解析：设AC与BD交于点O,以O为坐标原点，AC,BD所在直线 分别为x轴y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点A(2,0), o..s(子)…威=(g子)盛=（停）则 cos LAEB= 成.弦_2-5 E11E1233 D 4.AD解析：对于A选项，当该物体处于平衡状态时，如图①，此时F1, F2的合力大小为2N,方向与重力方向相反，故1F2I=√5N,正确； 对于B选项，当物体所受合力为F1时，F2与G大小相同，方向相反， 如图②，1F2I=2N,错误； 对于C选项，当1F2I=1N时，设重力G与水平拉力F的合力为F, 大小为5N,如图③，当F,与F方向相同时，IF,+F,+G引取得最大值 (√5+1)N,当F2与F方向相反时，1F1+F2+GI取得最小值(5- 1)N,故(5-1)N≤1F1+F2+GI≤(5+1)N,错误； 对于D选项，当1F2I=1N时，若存在实数入，使得G=F2+AF,,则 A2=(G-F2)2=4+1-2×2×1×c0s0=5-4cos0∈[1,9]，其中0为重力 G与F2的夹角，所以存在实数入，使得G=F2+入F1,正确. F2天--- F2* G G ① ③ 3 5.OA解析：设OA,OB,OC三根细绳对0所施力分别为a,b,c,则a+ b+c=0,设a与b的合力为c',则1cl=Ic'1, 必修第二册·RJ 如图，在平行四边形0BCA中，因为0成1OC,BC= 0i,所以101>10成1,10i1>10C1,即1a1>1b1, Ial>lc'1=lcl,所以绳OA受力最大. 6.4√2解析：如图所示，以CD的中点0为坐标原 点，AB所在的直线为x轴，过点O且垂直于AB的直 线为y轴，建立平面直角坐标系，不妨设C(-a,0),D(a,0),B(a+b, 0),A(-a-b,0),P(x,y）,因为∠CPD=90°，所以P元.Pi=(-a-x)· (a-x)+(0-y）(0-y)=0,所以x2+y2=a2.又PA2+PB2=8,所以(-a b-x)2+(0-y)2+(a+b-x)2+(0-y)2=8,整理得(a+b)2+a2=4.又 a+b2+a=42, 1Ai1+1Cii=2(a+b)+2a=2[(a+b)+a]≤2x2/2 当且仅当a+b=a,即b=0时取等号，所以1A1+1C1的最大值为 4w2,即AB+CD的最大值为4√2. y 0八 D B 7程据露意，易知0永-0丽61·日的=e.本-风 3e1+2e2 13e,+2e,1·13e,+20,=1(3e,+2e,),两式相减得F-Pd- t(2e1+e2),由PoQ0=(-1,-3),e1=(1,0),e2=(0,1),得P币=PoQ+ t(2e1+e2)=(-1+2t,-3+t). 因为Pd1PoQ,所以P·PoQ=-1×(-1+2)-3×(-3+t)=0,解得 t=2s故当P币LPoQ时，所需的时间t为2s. 6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时余弦定理 白题 基础过关 1.BCD解析：在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理 列出第三边的方程，解方程得第三边，A错误：正弦定理和余弦定理 都反映了任意三角形中的边角关系，它适用于任何三角形，B正确： 利用余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第 三边的问题，C正确；当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理， D正确.故选BCD. 2.D解析：由余弦定理可得a2=62+c2-2bc0sA=16+9-2x4x3× 1 13,所以a=√/13. 3.AD解析：在△ABC中，A=30°，a=1,c=√5，由余弦定理a2= B+e2-2csA得1=2+3-26x5×5,即B-36+2=0,解得6=1或 2 b=2,所以b的值可能是1或2. 4.√7解析：由题意得a+b=5,ab=6,又已知C=60°，则由余弦定理， c2=a2+62-2abcos C=a2+62-ab=(a+b)2-3ab=25-18=7, 以c=√7. 5.C解析：由题设知(a+c)2-b2=ac,则a2+c2-b2=-ac,所以cosB= a2+2-- 2ac ,又0<B<180°，可得B=120 6.D解析：因为a:b:c=√2：√3：2，所以设a=√2(t>0),则b= 5i,c=2,所以csC-2+2-c2_22+32-46 2ab2xW2x√3612 7.C解析：设该三角形为△ABC,且b=2,c=3,由三角形的几何性 质c-b<a<c+b,可得1<a<5.因为三角形是锐角三角形，c>b,所以只需 要A,C为锐角，则cosA= c>0,即13-a2>0,解得0<a3 黑白题016 V3;csC=a2+62-c2 2ab >0,即a2-5>0,解得a>√5.综上可得，√5<a< √13，即x的取值范围为(5，√13) 四方法总结 在三角形中，由余弦定理可得cosA与b2+c2-a2符号相同，所以可以 根据b2+c2-a2的正负情况，判断角A是锐角、直角或钝角 1 8.0解析：因为△ABC的面积S三2ah,2h。=2hc则a:日 5:4,b:c=6:5,故a:b:c=15:12:10,显然4为最大角，不妨 设c=10k(>0),则a=15k,b=12k,由余弦定理得csA=+c2-2。 2bc 144k2+100k2-225k219 240k2 240 9.D解折：因为8=号则=公24d2-2acsB,即c=a242-a,所以 (a-e)2=0,所以a=6,所以△MBc为等厦三角形又B=号，所以 △ABC为等边三角形. 10.B解析：由余弦定理得4c2+a2=b2=a2+c2-2 accos B,化简得 3c2=-2acco0sB>0,故cosB<0,从而△ABC的形状为钝角三角形. b2+c2-a 11.直角三角形解析：由余弦定理得cosA= ,则b=c· 2bc b2+c2-a2 ,所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形 2bc 黑题 应用提优 1.ACD解析：依题可得in2A=6+c2- -=cos A,E 2sin Acos A=cos A, 2bc 则osA=0或血A子因为Ae(0,),所以A=名或号或要故 选ACD, 2.C解析：在△ABC中，由余弦定理得0-2+b-C_2a6csC 06P+c2-a22cos有，整理 得cosA=cosC,而A,C∈(0，π)，函数y=cosx在(0，π)上单调递减， 因此A=C,所以△ABC是等腰三角形. 3.C解析：根据题意，A,B分别是MS,NS的中点，所以MN=2AB,在 △AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-20A·OB·cos∠AOB=3+ 4-2x3x2x -=1,所以AB=1,MN=2AB=2. 2 (6bccos A=-2accos B, 4.C解析：由题意得 {-2 accos B=-3 abcos C,所以 6bccos A=-3abcos C, (3bcos A=-acos B, 1a2-b2-2c2=0, 2cc0sB=3 beos C,由余弦定理得{a2+5b2-5c2=0,所以c2=2b2, 2ccos A=-acos C, a2-3b2-c2=0, 2+c2-a2b2+2b2-5b2 a2=5b2,由余弦定理得cosA= 1因 2bc 2b·√2b 为Ae(0,),所以A= 3π 5.AC解析：对于A,由a2+6<c2,可以得出csC=+62- -<0,所以 2ab C>?,故A正确： 对于B,由ab>e2,得cosC=a2+62-c2a6-b1 2ab >2=7,得0<C<牙，故 B错误； 对于C,假设G号则，，mG-≤0c2r识， 即≥a+a>a348,与a34=心矛盾c号放C正确； 对于D,取a=6=c2,满足a+b=2,此时C=牙，故D错误 参考答案 6.C解折：由余弦定理可知。2=62+2一号，在锐角三角形中又有 2b2 a2+b2>c2, b+e2-6betb>d, 5 -5b0. 即 → a2+c2>b2 b+e-6 berd>b. 12c2-6bc>0 5 5 3： 1·6>0, 7.(0,写）解析：由题意得-2bcos21<b2+d2-a2=2 bceosA,又2bc> 0,所以-c0s2A<c08A,所以2co82A+c08A-1>0, 所以(2c0sA-1)(cosA+1)>0.又A∈(0，m),所以cosA+1>0,所 以c心，所以01<号，即4的取值范周为(0，号） 8.解：(1)在△ABC中，4 acosB+6=4c,由余弦定理得4a.a+c2- -+b= 2ac 1 化，化简得e-2-,所以sAt心. 1 2bc=2bc=4 (2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,由(1)知cosA= ，又a=6,则6=+2-分c=(+o2-2k-c,即6+ 1 3k=(6o 又6女66e则(e69,得0P 4 16,则b+c≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，所以△ABC周长的最 大值为4+√6. 压轴挑战 3√10 5 解折：在等腰△ABC中，AB=AC,ms∠BMC=子，则BC2= AB+AC2-24B,ACoLB4C=2B2-2ABx于，即BC2=子AB, 5B,设AB=6,则BC= t.由∠PAB=∠PBC=∠PCA,结 5 合AB=AC知∠ABC=∠ACB,可得∠ABP=∠PCB,则△ABP∽△BCP,故 邵6S而BC3hB,AP=5,故BP=2,PC设LPBE √5 ∠PBC=∠PCA=a,在△ABP和△APC中，利用余弦定理可得 BP2=AP2+AB2-2AP·ABcos c,AP2=PC2+AC2-2PC·ACcos a,即2= 51-25,osea,5-亨f-2Xose,两式相玻，得omsa=65 5 在△BPC中，利用余弦定理可得PC2=BP2+BC2-2BP·BCeos&,即 4=2+22-22.2 5 √5 sa=2号-2万…65， 5·5,即得2=9， .t=3,则BC= 323√10 5 第2课时正弦定理 白题 基础过关 1.AC解析：由正弦定理可得血A-sinB_mC,设imA_imB。 a b c a b snC-k,则nA+sinB_a+ =k,故满足条件的为A,C选项. a+b 2D解析：在△MBc中，a=5,A=0,mC=,由正孩定理得 sin A sin C cs asin C v3x 2 a -=1. sinA√5 黑白题017第2课时正弦定理 白题 基础过关 限时：30min 题组1正弦定理的理解 A.若A=60°，a=b=2,则△ABC有一解 1.·（多选)在△ABC中，下列式子与inA 的 B.若A=30°，a=2,b=43,则△ABC无解 C.若A=150°，a=3,b=4,则△ABC有一解 值相等的是 ( D.若A=45°，a=√2，b=√3，则△ABC有两解 A.sin A+sin B B.sin B 7.*（2025·山东菏泽高一月考)在△ABC a+b sin A C.sin C 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2, D.c 'sin C B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围 题组2已知两角和一边解三角形 是 2.★(2025·四川内江高一期中)在△ABC 题组5边角互化 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a= 8.·(2025·广东东莞高一期中)在△ABC 中，角A,B,C的对边为a,b,c,已知bsin A= 5,4=60,sinC=2,则c= ( √3 acos B,则B= A.22 B.2 C.3 D.1 B.Z 3.(2025·江西宜春高一月考)△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=45°，B= C. 6 105°，c=2,则a等于 9.*(2025·浙江湖州高一月考)已知△ABC 题组3.已知两边及其中一边的对角解三角形 4.*(多选)(2025·吉林长春高一月考)在 的周长为3+√/3，且sinA+sinB=√3sinC, 则AB= △ABC中，已知a=√3，b=√2，B=45°，则角A 10.(2025·陕西咸阳高一月考)在△ABC中， 的度数为 ( 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A:B: A.60° B.120° C=1:2:3,则a:b:c等于 C.30° D.90° 题组6利用正弦定理判断三角形形状 5.*(2025·福建漳州高一月考)在△ABC 11.*(2025·福建福州高一期中)在△ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B= 6 中，内角A,B所对的边分别为a,b,若atan B= btan A,则△ABC的形状为 b=√3，a=3,则c= ( A.等腰三角形 B.直角三角形 A.√3或23 B.23或3 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 C.3或3 D.3 12.*(2025·河南郑州高一期中）设△ABC 题组4三角形解的个数问题 外接圆的半径为R,若AB=2R,则△ABC的 6.*(多选)(2025·广东茂名高一月考)已知 形状为 ( ) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 A.锐角三角形 B.直角三角形 下列说法正确的是 C.钝角三角形 D.不确定 第六章黑白题027 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2024·河北保定高一期末)在△ABC6.*(多选)(2025·黑龙江哈尔滨高一期中) 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A+ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, B=2C,cO8 A=6 3,a=3,则c为 ( 6c,A=牙C-子，则下列说达正 4 确的是 () b.2 C.26 D.5 A.若△ABC不存在，则a的取值范围为 2.*设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, (0,22) b,c,若△ABC的周长为 asin B B.若存在唯一的△ABC,则a的取值范围为 sin A+sin B-sin C' 则 [4,+0) ( C.若存在两个符合条件的△ABC,则a的取值 A.C= 3 B.B=2m 范围为(22,4) D.若△ABC为锐角三角形，则a的取值范围 C.C-3 DB=胃 为(4,42) 3.**（2025·江苏南京高一期末)在△ABC 7.整(2025·江苏宿迁高一期中)在△ABC 3 中，anA=4,anB=亏，若△ABC最长边的长 中，sin2B+2sin2A-sin2C=0,若tanB=xtan C, 则实数x的值为 为√34，则最短边的长为 8.接(2025·山东济宁高一期末)设△ABC的 A.1 B.√2 C.2 D.3 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin B+ 4.*(2025·福建三明高一期末)某同学用 √3 bcos C=√3a,a=2. 3个全等的小三角形拼成如图所示的边长 (1)求角B的大小； 为21的等边三角形ABC,已知cos∠ACF= (2)若点M在直线AB上，当△BCM为锐角三 14 角形时，求2CM+BM的取值范围. 则EF= A.6 B.8 C.10 D.12 5.*(2025·湖北武汉高一期末)已知△ABC 中，(-2A)=csB,则ACBC的取值范围 AB 是 c分) g 必修第二册·RJ黑白题028