8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

课标要求                                                                                                                  情境导入

知识点一｜棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

问题1　（1）我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？

提示：长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.

（2）棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？

提示：都相等.

【知识梳理】

多面体的表面积就是围成多面体　各个面　的面积的　和　.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

　　提醒：求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.

【例1】　已知正四棱台（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.

解：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，且O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝×6＝3.

过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－OH＝6－3＝3.

在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，

所以E1E＝3，

所以S侧＝4××（B1C1＋BC）×E1E＝2×（6＋12）×3＝108.

【规律方法】

1.求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱；并注意两个直角梯形的应用：

（1）高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；

（2）高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.

2.正棱柱、正棱锥、正棱台侧面面积之间的关系

S正棱柱侧＝ChS正棱台侧＝（C＋C'）h'S正棱锥侧＝Ch'（C，C'分别为下、上底面周长，h为高，h'为斜高）.

训练1　（2025·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.

解：如图，设PO＝3，PE是斜高，

∵S侧＝2S底，∴4··BC·PE＝2BC2，

∴BC＝PE.

在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE，

∴9＋（）2＝PE2，∴PE＝2.

∴S底＝BC2＝PE2＝（2）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，

∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.

知识点二｜棱柱、棱锥、棱台的体积

问题2　（1）正方体、长方体的体积公式是什么？由此可推出一般棱柱的体积公式是什么？

提示：V正方体＝a3（a是正方体的棱长），V长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）.棱柱的体积公式V棱柱＝Sh（其中S为底面积，h为高）.

（2）如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？

提示：分成的三个棱锥的体积相等.

由此可得到三棱锥的体积公式V棱锥＝Sh（其中S为三棱锥的底面面积，h为它的高）.

（3）棱台的体积公式又是怎样得到的？

提示：因为棱台可以看成棱锥截去一小棱锥得到，所以棱台的体积可以通过计算两棱锥的体积之差得到V棱台＝h（S'＋＋S）（其中S'，S为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）.

【知识梳理】

1.棱柱的体积等于棱柱的底面积乘高.