1 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积计算，从空间几何体表面积（展开图转化为平面图形面积之和）到体积公式（棱柱V=Sh、棱锥V=1/3Sh、棱台V=1/3h(S'+√(S'S)+S)），构建从平面到空间、从简单到复杂的学习支架。 以胡夫金字塔等现实情境导入，培养数学眼光，通过思考、例题及跟踪训练，引导学生用数学思维推导公式、解决实际问题，如正四棱台石墩侧面积计算。知识梳理与图表结合，助学生用数学语言构建知识网络，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

8．3　简单几何体的表面积与体积 8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 新课导入 学习目标 胡夫金字塔是古埃及金字塔中现存规模最大的金字塔．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人如何采集、搬运多而重的巨石垒成如此宏伟的金字塔，其建造过程至今仍是一个谜团．试想此金字塔所占空间的大小？ 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用体积、表面积公式解决简单的实际问题． 思考　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，那么长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？ 提示：长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示． [知识梳理] 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． [例1] (对接教材例1)(1)如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线BE1＝2，则它的表面积为(　　) A．3＋16 B．12＋16 C．12＋24 D．3＋24 (2)已知某正四棱台形石墩的上、下底面边长分别为40 cm，58 cm，侧棱长为41 cm，则该石墩的侧面积为________cm2. 【解析】　(1)因为正六棱柱的底面边长为2，体对角线BE1＝2，则高为BB1＝＝2，它的表面积为 S表＝2S底＋6S矩形ABB1A1＝2×6××2×2×sin ＋6×2×2＝12＋24. (2)设a＝40，b＝58，l＝41，可得正四棱台的斜高为h′＝＝＝40， 所以该石墩的侧面积为S＝4×(a＋b)h′＝2×(40＋58)×40＝7 840(cm2). 【答案】　(1)C　(2)7 840 (1)多面体的侧面积 ①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长． ②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼接而成的，则侧面积为各个三角形面积的和． ③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和． (2)多面体的表面积 ①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底． ②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底． ③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底． 　 [跟踪训练1] (1)底面边长为2，且侧棱长为2的正四棱锥的侧面积为(　　) A．20 B．16 C．24 D．6 解析：选C.由正四棱锥底面边长为2， 则斜高为 PH＝＝3， 侧面积为S＝×3×2×4＝24. (2)已知长方体的三个不同表面的面积分别为2，2，，则长方体的体对角线长为________． 解析：设长方体的相邻的三条棱长为a，b，c， 因为长方体的三个不同表面的面积分别为2，2，， 所以解得所以长方体的体对角线长为＝2. 答案：2 思考　一个长方体底面矩形的边长分别为a，b，侧棱长为c，则底面矩形的面积为S＝ab，它的体积为V＝abc＝Sc，由此猜想底面积为S，高为h的棱柱的体积是多少？ 提示：V＝Sh. [知识梳理] 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积， h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积， h为棱锥的高 棱台 V棱台＝h(S′ ＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 点拨　(1)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系． (2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点． [例2] (1)如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，AB＝8，A1B1＝2，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为V1，V2，则＝(　　) A. B． C． D． (2)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1­D1MN的体积为________． 【解析】　(1)设正四棱台的高为h，易知在题图1中，中间液面四边形的边长为5，在题图2中，中间液面四边形的边长为6， 则V1＝·＝，V2＝·＝， 所以＝. (2)如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点， 得S△A1MN＝S正方形ABB1A1－2S△ANA1－S△BMN＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1­A1MN的高，且D1A1＝2， 所以VA1­D1MN＝VD1­A1MN＝S△A1MN·D1A1＝××2＝1. 【答案】　(1)D　(2)1 求几何体体积的常用方法 　 [跟踪训练2] (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． 解析：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的.又正方体的体积V正方体ABHI­DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V＝×8＝4. 答案：4 (2)已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A­A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为________． 解析：设点A到平面A1B1C1D1的距离为h，四边形A1B1C1D1的面积为S， 显然有1＝Sh， 所以V三棱锥A-A1B1D1＝·S·h＝. 因此剩余部分几何体的体积为1－＝. 答案： [例3] 某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知·＝2，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　) A. B． C. D． 【解析】　如图，设正六棱柱底面边长为a，侧棱长为c，由题意可知AB＝2a，c＝2a，则可知正六棱柱的侧面积为 6a·2a＝12a2. 设正六棱锥侧棱长为b，则·＝b2cos ∠APB＝b2·＝b2－2a2， 又·＝2＝a2， 所以b2－2a2＝a2，解得b2＝a2， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为＝. 【答案】　B 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． [跟踪训练3] 在传统木匠中，木楔子是一种常见的工具，它使得榫卯配合的牢固程度最大化，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其底面ABCD是一个矩形，其中AB＝4，BC＝3，EF＝2，EA＝ED＝FB＝FC＝，EF∥AB，则该木楔子的体积为________． 解析：如图，分别过点E，F作AB，CD的垂线，垂足分别为G，H，M，N，连接GM，HN，则AG＝DM＝NC＝HB＝1，EG＝EM＝FH＝FN＝＝3，取GM的中点O，连接EO，因为EG＝EM，所以EO⊥GM，则EO＝＝，所以V四棱锥E­AGMD＝V四棱锥F­HBCN＝×1×3×＝，V三棱柱GME­HNF＝×3××2＝，所以该木楔子的体积V＝V四棱锥E­AGMD＋V四棱锥F­HBCN＋V三棱柱GME­HNF＝. 答案： 1．(教材P116T2改编)边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了(　　) A.36 B．72 C.108 D．240 解析：选C.由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1， 边长为3的正方体表面积为6×3×3＝54；每个小正方体的表面积为6×1×1＝6，27个小正方体的表面积之和为6×27＝162，162－54＝108，所以表面积之和比原来增加了108. 2．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为 解析：选ABD.设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE， 则PE为正三棱锥的高，PF为斜高， 又PF＝＝，EF＝×＝，故PE＝＝3，故A，B正确； 正三棱锥的体积为××9×3＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确． 3．(教材P116T1改编)已知正四棱台ABCD­A′B′C′D′的体积为14，若AB＝2，A′B′＝4，则正四棱台ABCD­A′B′C′D′的高为________． 解析：设正四棱台ABCD­A′B′C′D′的高为h，则VABCD­A′B′C′D′＝h＝14，解得h＝. 答案： 4．某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积是多少？ 解：设该正四棱锥的斜高为h′. 因为高为3 m，底面边长是8 m， 所以h′＝＝5， 所以该正四棱锥的侧面积为 4××5×8＝80(m2)， 即需要油毡的面积为80 m2. 1．已学习：棱柱、棱锥、棱台以及简单组合体的侧面积、表面积与体积． 2．须贯通：多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和；台体体积进行“补形”还原为锥体，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求台体的体积；三棱锥的体积可以通过转换底面即“等积法”来求解． 3．应注意：解决空间几何体的表面积时，需对空间图形与平面图形进行转化． 学科网（北京）股份有限公司 $