6.2.3 向量的数乘运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 1 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（数学抽象、直观想象）. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 　　实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5＋5＋5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 情景导入 知识点一　向量的数乘运算 01 知识点二　向量的线性运算 02 提能点　用已知向量表示未知向量 04 目录 课时作业 05 知识点三　向量共线定理 03 4 知识点一 向量的数乘运算 01 PART 目 录 问题1　已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）. 它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，（－a）＋ （－a）＋（－a）的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算 叫做向量的数乘，记作 ⁠. 2. 规定：（1）｜λa｜＝ ⁠； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ；（－1）a＝ ⁠. 　　提醒：数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加. 向量　 λa　 ｜λ｜｜a｜　 相同　 相反　 0　 －a　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　〔多选〕已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是 （　　） A. 2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B. －2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 C. －2a与2a是一对相反向量 D. a－b与－（b－a）是一对相反向量 √ √ √ 数学·必修第二册 目 录 解析：因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且｜2a｜＝2｜a｜，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜，又－2＜0，所以－2a与a的方向相反，且｜－2a｜＝2｜a｜，所以－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 ，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－（b－a）为相等向量，所以D不正确. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. ｜λ｜表示向量长度变化的倍数. 2. λ的符号决定λa与向量a的方向之间的关系. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 （　D　） A. a与λa的方向相同 B. a与－λa的方向相反 C. ｜－λa｜＝｜－λ｜·a D. ｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜ 解析： 依题意，λ＞0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反， 但是λ＜0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A、B错误；由 数乘运算的长度的定义可知｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜，故C错误，D正 确.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 （2）若点C在线段AB上，且 ＝ ，则（　D　） A. ＝ B. ＝－ C. ＝ D. ＝－ 解析： 因为点C在线段AB上，所以 ， 同向， ， 反向， 故B、C错误；又｜ ｜＝ ｜ ｜，所以A错误；又 ， 反向 且｜ ｜＝ ｜ ｜，所以 ＝－ ，故D正确.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 知识点二 向量的线性运算 02 PART 目 录 问题2　类比实数的乘法满足的运算律，请猜想向量的数乘有哪些运算律？ 提示：结合律，分配律. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 2. 向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （1）λ（μa）＝ ⁠； （2）（λ＋μ）a＝ ⁠； （3）λ（a＋b）＝ ⁠. 特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－ λb. 　　提醒：向量的线性运算结果仍是向量. （λμ）a　 λa＋μa　 λa＋λb　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P14例5）（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－ 2（3b＋c）－2（a＋b）等于（　C　） A. －a B. －b C. －c D. 以上都不对 解析： 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－ 2b－2c＝－c.故选C. （2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝ ⁠ ⁠. 解析： 由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋ 3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. C 4b－ 3a　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 向量线性运算的方法 （1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代 数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同 类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项， 合并同类项，系数化为1等步骤求解. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）化简 ［ （2a＋8b）－（4a－2b）］的结果是（　　） A. 2a－b B. 2b－a C. b－a D. a－b √ 解析： 原式＝ （a＋4b－4a＋2b）＝ （－3a＋6b）＝2b－a. 数学·必修第二册 目 录 解析：由3x－2y＝a，① －4x＋3y＝b，② ①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3（3a＋2b）－2y＝a，即y＝ 4a＋3b. （2）已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则 向量x＝ 　 　，y＝ 　 　.（用a，b表示） 3a＋2b 4a＋3b 数学·必修第二册 目 录 知识点三 向量共线定理 03 PART 目 录 问题3　如果b＝λa（a≠0），那么向量a，b是否共线？反过来，若向量 b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa（a≠0）？ 提示：共线，存在. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 实数λ，使 ⁠ ⁠. 　　提醒：（1）向量共线定理中规定a≠0，当a＝0时，λ未必存在； （2）λ的值是唯一存在的. 唯一一个　 b ＝λa　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　（链接教材P15例7、P16例8）设a，b是不共线的两个非零 向量. （1）若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，C三 点共线； 解： 证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋ 2b， ＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－ 2 ， ∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线. 数学·必修第二册 目 录 （2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 解： ∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b）， 即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0. ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相 等求解. 2. 证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可. 　　提醒：若向量 ， ， 的终点A，B，C共线，则存在实数x， y，且x＋y＝1，使得 ＝x ＋y ，反之也成立. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则 a＋b与c＝6e1－2e2的关系是（　B　） A. 不共线 B. 共线 C. 相等 D. 无法确定 解析： ∵a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，∴a＋b＝3e1－e2＝ c，因此 a＋b与c＝6e1－2e2的关系是共线，故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta， a－ tb共线，则实 数t＝ ⁠. 解析： ∵b－ta与 a－ tb共线，∴存在实数λ，使得b－ta＝λ（ a － tb），即（ λ＋t）a＋（－ λt－1）b＝0.∵a与b不共线， ∴ 解得t＝± . ± 　 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 用已知向量表示未知向量 目 录 【例4】　（链接教材P14例6）如图，在平行四边形OADB中，OD与AB 交于点C，M，N分别是AB，OD上的点，且 ＝ ， ＝ ， 设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 ， ， . 数学·必修第二册 目 录 解：由题意，可知 ＝ ＝ ＝ （ － ）＝ （a－b），所 以 ＝ ＋ ＝b＋ （a－b）＝ a＋ b. 又 ＝ ＝ ， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋ b）＝ a＋ b. 所以 ＝ － ＝ a＋ b－（ a＋ b）＝ a－ b. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 用已知向量表示未知向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行 四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向 量的方程. 数学·必修第二册 目 录 训练4　已知5x＋2y＝a，3x－y＝b，用向量a，b表示x，y，则x ＝ 　 a＋ b　，y＝ 　 a－ b　. 解析：把已知中的两个等式看成关于x，y的方程，联立得 解得 a＋ b　 a－ b　 数学·必修第二册 目 录 1. 若a＝－ b（b≠0），则（　　） A. a和b方向相同，｜a｜＝2｜b｜ B. a和b方向相同，｜b｜＝2｜a｜ C. a和b方向相反，｜a｜＝2｜b｜ D. a和b方向相反，｜b｜＝2｜a｜ 解析：　∵a＝－ b（b≠0），－ ＜0，∴a和b方向相反，且｜a｜ ＝｜－ b｜＝ ｜b｜，∴｜b｜＝2｜a｜.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　） A. 10d B. －10d C. 20d D. －20d 解析：　2a－3b＋c＝2×4d－3×5d－3d＝8d－15d－3d＝－10d. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则 ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　在矩形ABCD中，AB􀰿CD，故 ＝ ，又∵E为CD的中 点，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . √ 数学·必修第二册 目 录 4. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋ 4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值. 解：依题意， ＝e1＋2e2， 故 ＝ ＋ ＋ ＝7e1＋（k＋6）e2. 已知A，B，D三点共线，可设 ＝λ ， 则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），即（7－λ）e1＝（λk－k－6）e2， 所以 解得k＝1. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）向量的数乘及运算律； （2）向量共线定理； （3）向量共线定理的应用. 2.应体会 借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了方程思想. 3.避易错 利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 化简：6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝（　　） A. 6a＋2b＋8c B. 6a－14b C. －2a－14b D. 6a＋2b 解析：　6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝6a－6b ＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使 ＋ ＝ 0成立的是（　　） A. a＝－2b B. a＝2b C. a∥b D. a∥b且｜a｜＝｜b｜ 解析：　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ，即a与b的方向相 反，排除B、C、D，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则 ＝ （　　） A. a－b B. a＋b C. a＋ b D. a－ b 解析：　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－ b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在梯形ABCD中， ＝4 ， ＋ ＝x ＋y ，则x－y＝ （　　） A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 解析：　因为 ＝4 ，所以 ＋ ＝（ ＋ ）＋4 ＝ － 5 ，所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可 以使a，b共线的是（　　） A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝ e，b＝ － e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－ b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为 梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选 A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知P为△ABC所在平面内一点，且 ＋2 ＋3 ＝0，若 E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 向量 与 可能平行 B. 点P在线段EF的延长线上 C. 点P在线段EF上 D. PE∶PF＝2∶1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　因为P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的 中点，所以 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，又 ＋2 ＋3 ＝ 0即（ ＋ ）＋2（ ＋ ）＝0，所以2 ＋4 ＝0，即 ＝ 2 ，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，故B错误，C、D正 确；易知P，A，C三点不共线，则向量 与 不可能平行，故A错 误.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 已知 ＝ ，若 ＝λ ，则λ＝ 　－ 　. 解析：因为 ＝ ，所以－ ＝ （ ＋ ），即 ＝－ ＝λ ，所以λ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则 ＝ .（用 ， 表示） － 　 解析：利用向量的三角形法则，可得 ＝ － ， ＝ ＋ ， ∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ － .又 ∵ ＝ ，∴ ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 ＝x ＋ y ，则x＋y＝ 　 　. 解析：法一　由于A，B，P三点共线，所以向量 ， 在同一直线 上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 ＝λ ，即 － ＝λ （ － ），所以 ＝（1－λ） ＋λ ，故x＝1－λ，y＝λ，即x ＋y＝1. 1 法二　由三点共线的性质定理可知，x＋y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. （1）化简： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]； 解： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝ （4a＋8b－20a＋8b） ＝ （－16a＋16b）＝－4a＋4b. （2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x. 解： 因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c ＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O. 若2 ＋3 ＝2 ＋3 ，则四边形ABCD一定是（　　） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 解析：　∵2 ＋3 ＝2 ＋3 ，∴2（ － ）＝3（ － ），∴2 ＝3 ，∴四边形ABCD一定是梯形.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 在△ABC中， ＝ ，E为AD中点，则 ＝（　　） A. ＋ B. － C. － D. ＋ 解析：　如图，因为 ＝ ，E为AD中点，所以 ＝ － ＝ － ＝ － （ ＋ ）＝ － ［ ＋ （ － ）］＝ － （ ＋ ）＝ － .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知M为△ABC的边AB的中点，N为△ABC内一点，且 ＝ ＋ ，则 ＝ 　 　. 解析：如图所示，因为 ＝ ＋ ，所以 ＝ ，所以MN∥BC. 又M为边AB的中点，所以点A到 MN的距离等于点N到BC的距离，所以 ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且 ＝ke1－4e2， ＝－e1 ＋ke2， ＝e1＋2e2. （1）若 ， 方向相反，求k的值； 解： 由题意知， ∥ ，则存在λ∈R，使得 ＝λ ，即ke1－ 4e2＝λ（－e1＋ke2），整理得（k＋λ）e1＝（kλ＋4）e2. 由e1，e2是不共线的向量， 得 解得 或 又 ， 方向相反，则λ＝－2，k＝2，故k的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若A，C，D三点共线，求k的值. 解： 由题意得， ＝ ＋ ＝（k＋1）e1－2e2. 由A，C，D三点共线得，存在μ∈R，使得 ＝μ ，即（k＋1）e1－ 2e2＝μ（－e1＋ke2），整理得（k＋μ＋1）e1＝（kμ＋2）e2. 由e1，e2是不共线的向量， 得 解得 或 综上，k＝1或k＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，在三角形OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直 线MN上，且 ＝x ＋y （x，y∈R），求代数式 的最小值. 解：因为点R，M，N共线，所以 ＝λ （λ∈R），则 ＝λ ＋ （1－λ） ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以 ＝λ ＋（1－λ） ＝ λ ＋ （1－λ） ，所以x＋y＝ λ＋ （1－λ）＝ ，即y＝ －x， 所以 ＝ ＝ ＝ ≥ ， 故当且仅当x＝ 时， 取得最小值，最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $