6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了用正余弦定理解三角形的核心内容，涵盖三角形面积计算、平面几何问题求解及定理综合应用，通过知识框架图串联面积公式、边角关系等关键知识点，建立从基础公式到综合应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“基础例题-规律总结-分层训练”模式，如通过圆内接四边形问题培养几何直观（数学眼光），结合正弦定理推理角的关系（数学思维），设置A级巩固、B级综合、C级拓展作业。这种设计帮助学生提升推理能力与模型意识，教师可精准实施分层教学，有效巩固知识。

第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1 知识点一　有关三角形面积的计算 01 知识点二　求解平面几何问题 02 知识点三　正弦、余弦定理的综合应用 03 目录 课时作业 04 2 知识点一 有关三角形面积的计算 01 PART 目 录 问题　已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示：边b上的高h为a sin C，故面积为S＝ bh＝ ab sin C. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 三角形的面积计算公式 （1）S＝ a·ha＝ b·hb＝ c·hc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上 的高）； （2）S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B； （3）S＝ （a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）. 数学·必修第二册 目 录 2. △ABC中的常用结论 （1）A＋B＋C＝ ， sin （A＋B）＝ ， cos （A＋ B）＝ ⁠； （2）大边对大角，即a＞b⇔A＞B⇔ sin A＞ sin B⇔ cos A＜ cos B. 180°　 sin C　 － cos C　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝4，b＝6， cos C＝－ ，则△ABC的面积为（　B　） A. 6 B. 6 C. 12 D. 8 解析： ∵0＜C＜π，∴ sin C＝ ＝ ，∴S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×6× ＝6 .故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）若△ABC的面积为 ，BC＝2，C＝60°，则AB＝ ⁠. 解析： 法一　由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，由余 弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 60°＝22＋22－2×2×2× ＝4，所以AB＝2，即边AB的长度为2. 2　 法二　由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，所以AC＝BC＝ 2，又C＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝2，即边AB的长度 为2. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B求解时，一般是 已知哪个角就使用哪一个公式. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面 积为 ，且b＝2，c＝ ，则A＝（　D　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°或60° 解析： 已知S△ABC＝ bc sin A＝ ，则有 ×2× sin A＝ ，所以 sin A＝ .因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝ （b－c）2，A＝ ，则△ABC的面积是（　D　） A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 解析： 由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝ ，所以由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，解得bc＝8，所以 △ABC的面积是 bc sin A＝ ×8× ＝2 .故选D. D 数学·必修第二册 目 录 知识点二 求解平面几何问题 02 PART 目 录 【例2】　如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝ 2 ，△ABC的面积为 .求： （1）AC； 解： 因为△ABC的面积为 ， 所以 AB·BC sin B＝ . 又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2. 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12，所以AC＝2 . 数学·必修第二册 目 录 （2）∠ACD. 解：因为四边形ABCD为圆内接四边形，且B＝120°，所以D＝60°. 又AD＝2 ，由正弦定理可得 ＝ ， 故 sin ∠ACD＝ ＝ ＝ . 因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°， 所以∠ACD＝45°. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 多边形中计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用 正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决； （2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝ a，且 cos B＝ . （1）求B的大小； 解：∵∠ACB＝ ，∴ cos B＝ ＝ ＝ ， 整理得2a2－c2＋ac＝0，即（2a－c）（a＋c）＝0. ∵a＋c＞0，∴2a－c＝0，即2a＝c. ∴ cos B＝ ， ∵B为△ABC的内角，∴B∈（0，π），∴B＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求 sin ∠BCD. 解：依题意，知c＝AB＝3，BD＝AB－AD＝2，BC＝AB· cos B ＝ . 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos B＝ ＋4－ 2× ×2× ＝ ， ∴CD＝ . 在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ， ∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 正弦、余弦定理的综合应用 目 录 【例3】　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知a＝ ，b＝3， sin B＋ sin A＝2 . （1）求角A的大小； 解： 由题意，结合正弦定理得 ＝ ， ∴ sin B＝3 sin A， 根据 sin B＋ sin A＝2 ，联立得 sin A＝ ， ∵△ABC为锐角三角形，∴A∈（0， ），∴A＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）求△ABC的面积. 解：由题意，结合余弦定理得a2＝c2＋9－6c· cos ＝7，解得c＝1 或c＝2. 当c＝1时， cos B＝ ＝－ ＜0，故B为钝角，这与△ABC为锐 角三角形矛盾，故不满足条件. 当c＝2时，满足题意，此时△ABC的面积为 bc· sin A＝ ×3×2× ＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积 公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用 所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系； （2）抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹 角”，正确选择定理是解决此类题目的关键. 数学·必修第二册 目 录 训练3　在△ABC中，已知 ＝ 且a（ sin A－ sin B）＝（c－ b）（ sin C＋ sin B），试判断△ABC的形状. 解：由 ＝ 及正弦定理得 ＝ ，即ac＋a2＝b2＋bc， ∴a2－b2＋ac－bc＝0，∴（a－b）（a＋b＋c）＝0，∴a＝b. 由a（ sin A－ sin B）＝（c－b）（ sin C＋ sin B）及正弦定理，得a（a －b）＝（c－b）（c＋b）， 即a2＋b2－c2＝ab.∴ cos C＝ ＝ ， 又C∈（0，π），∴C＝ .∴△ABC为等边三角形. 数学·必修第二册 目 录 1. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝ ，b＝4， C＝ ，则△ABC的面积为（　　） A. 2 B. C. D. 解析：　由题意可知，a＝ ，b＝4，C＝ ，所以S△ABC＝ ab sin C ＝ × ×4× ＝ . √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ ，则C＝ （　　） A. 60°或120° B. 30° C. 60° D. 45° 解析：　在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ AB·AC sin A＝ ，可得 sin A＝1.因为0°＜A＜180°，所以A＝90°， 所以C＝180°－A－B＝60°. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 在△ABC中， sin B＝2 sin A，a＋c＝3，且 cos C＝ ，则a＝ ⁠. 解析：由 sin B＝2 sin A及正弦定理，得b＝2a，又a＋c＝3，∴c＝3－ a，由余弦定理的推论，得 cos C＝ ＝ ＝ ，整理 得a2＋2a－3＝0，解得a＝1（负值舍去）. 1　 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2， BD＝4，则 sin B＝ ⁠. 解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由 余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB＝2 ，由 正弦定理，得 ＝ ，则 sin B＝ ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）三角形面积的计算； （2）利用正弦、余弦定理解平面几何问题； （3）正弦、余弦定理的综合应用. 2.应体会 结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法. 3.避易错 利用正弦定理进行边和角的相互转化时易出现不等价变形. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 钝角△ABC的面积是 ，AB＝1，BC＝ ，则AC＝（　　） A. 5 B. 解析：　由三角形面积公式，得S△ABC＝ AB·BC· sin B＝ .又∵AB ＝1，BC＝ ，∴ sin B＝ .∵B∈（0，π），∴B＝ 或B＝ .由余 弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，当B＝ 时，得AC＝1，这 时不符合△ABC为钝角三角形的要求，故舍去；当B＝ 时，得AC＝ （满足题意）. C. 2 D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2 ＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以 △ABC是等边三角形，B＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为 ，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝ ab sin C＝ ＝ ab cos C，可得 sin C＝ cos C，∵C∈（0，π），∴C＝ .故 选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝ bc＝1，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 解析：　由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bc cos A可得bc＝ 2bc cos A，即 cos A＝ ，因为在△ABC中， sin A＞0，所以 sin A＝ .因 为bc＝1，所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×1× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列 等式恒成立的是（　　） A. a2＝b2＋c2－2bc cos A B. a sin B＝b sin A C. a＝b cos C＋c cos B D. a cos B＋b cos C＝c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正 确；对于B，根据正弦定理 ＝ ，可得a sin B＝b sin A，故B正确； 对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B⇒ sin A＝ sin B cos C＋ sin C cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得， sin A cos B＋ sin B cos C＝ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，即 sin B cos C＝ cos A sin B，又 sin B≠0，所以 cos C＝ cos A，当A＝C 时，等式成立，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin B＝ ，c＝2，b＝ ，则（　　） A. sin C＝ B. cos B＝－ C. a＝3 D. △ABC的面积为 或 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　对于A，因为 sin B＝ ，c＝2，b＝ ，所以由 ＝ ，得 × ＝ ，解得 sin C＝ ，故A正确；对于B，因为c＞ b，所以C＞B，故0＜B＜ ，因为 sin B＝ ，所以 cos B＝ ＝ ，故B错误；对于C，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2＝a2＋4－ 4a× ，解得a＝ 或a＝3，经检验，a＝ 与a＝3都满足要求，故C错 误；对于D，当a＝ 时，S△ABC＝ ac sin B＝ × ×2× ＝ ； 当a＝3时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×3×2× ＝ ，所以△ABC的面积 为 或 ，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为3，则a ＝ ⁠. 解析：由S△ABC＝5，得 bc sin A＝ ×20× sin A＝5，解得 sin A＝ ，再由 正弦定理，得 ＝2×3，即a＝ ×2×3＝3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝ 60°，且△ABC的面积为5 ，则△ABC的周长为 　9＋ 　. 解析：由题意及三角形的面积公式，得 ab sin C＝5 ，即 a×5× ＝ 5 ，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋ 25－2×4×5× ＝21，c＝ ，所以△ABC的周长为9＋ . 9＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3， B＝ ，则AC边上的高为 　 　. 解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝ ，由余弦定理得b2＝a2＋c2－ 2ac cos B＝4＋9－2×2×3× ＝7，解得b＝ （负值舍去），设AC边上 的高为h，则S△ABC＝ ac sin B＝ h·b，即 ×2×3× sin ＝ h× ， 解得h＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝8，b ＝7，B＝60°，求c及S△ABC. 解：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得49＝64＋c2－ 16c× ， 整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5. 当c＝3时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×8×3× ＝6 ； 当c＝5时，S△ABC＝ ac sin B＝ ×8×5× ＝10 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5， DA＝7，则AB的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　在△ADC中，因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以 cos ∠ADC ＝ ＝ ，因此 cos ∠ADB＝－ ，所以 sin ∠ADB＝ ，在 △ABD中，又B＝45°，由正弦定理 ＝ ，得AB＝ ＝ ＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝2，c sin A＝a cos （C＋ ），则c＝（　　） A. 1 B. √ C. 4 D. 13 解析：　∵c sin A＝a cos （C＋ ），∴ sin C sin A＝ sin A（ cos C－ sin C），∵ sin A≠0，∴ sin C＝ cos C－ sin C，∴3 sin C＝ cos C， ∴tan C＝ ，又∵C∈（0，π），∴C＝ .在△ABC中，由余弦定理得c2 ＝3＋4－2× ×2× ＝1，∴c＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a∶b∶c＝2∶3∶4，则下列结论正确的是（　　） A. sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4 B. △ABC是钝角三角形 C. 若c＝8，则△ABC外接圆半径为 D. 若c＝8，则边AB上的中线长为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：在△ABC中，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a＝2t，b＝3t，c＝4t，且t＞0.对于A，由正弦定理，得 sin A∶ sin B∶ sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶4，故A正确；对于B，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以角C最大， cos C＝ ＝ ＝－ ，则C为钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确；对于C，若c＝8，因为 cos C＝－ ，所以 sin C＝ ，由正弦定理，得2R＝ ＝ ，即R＝ ，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 对于D，若c＝8，则a＝4，b＝6，则由余弦定理的推论得， cos A＝ ＝ ＝ ，所以由余弦定理得边AB上的中线长为 ＝ ＝ ， 故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c －b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a. （1）求角B； 解： 因为（c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a， 所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ . 因为0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若c＝4，△ABC的面积为3 ，求 cos C的值. 解：因为c＝4，△ABC的面积为3 ， 所以 ac sin B＝3 ， 即 ×4a× ＝3 ，解得a＝3. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋16－2×3×4× ＝13，所以b＝ （负值舍去）， 所以 cos C＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos A＝c. （1）判断△ABC的形状，并加以证明； 解：△ABC为直角三角形.证明如下： 在△ABC中， 由正弦定理得 sin B cos A＝ sin C，又A＋B＋C＝π， 所以 sin B cos A＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B， 化简得 sin A cos B＝0，因为A∈（0，π），所以 sin A＞0，所以 cos B＝0， 又因为B∈（0，π），所以B＝ ，所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）如图，△ABC外存在一点D，使得∠BAD＝ ，AD＝2，BD＝5， 且BC＝2 ，求CD. 解： 在△ABD中，由正弦定理得 ＝ . 由题设知， ＝ ，所以 sin ∠ABD＝ ＝ . 由（1）知， cos ∠CBD＝ cos （ －∠ABD）＝ sin ∠ABD＝ . 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC· cos ∠CBD＝ 52＋（2 ）2－2×5×2 × ＝25，所以CD＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $