33 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦解三角形的实际应用，通过灯塔方位、峡谷宽度、炮台测船等现实情境，串联正弦定理、余弦定理知识点，构建从基础定理到实际问题的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境化题目培养数学眼光与思维，如圭表测量表高、台风影响时长等问题，引导学生用数学观察现实、推理解决问题。解析注重逻辑推导，分层设计适合不同学生，助力教师高效教学，提升学生应用能力。

6.4.3 第4课时 课后达标 检测 1 1.已知两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔 在观察站南偏西 方向上，灯塔在观察站南偏东 方向上，则灯塔在灯塔 的 ( ) D A.北偏东 方向上 B.北偏西 方向上 C.南偏东 方向上 D.南偏西 方向上 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 【解析】 选D.作出图形，由条件及图可知， 为 等腰三角形，所以 ，又 ， 所以 ，所以 ， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西 方向上.故选D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2.现有两灯塔，与观测点，已知灯塔在观测点北偏东 方向上 处，灯塔在观测点南偏东 方向上处，则灯塔与 的距 离为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.由题意知 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3.如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸， 的俯角 分别为 ， ，若无人机的高度为 ，则 峡谷的宽度 为( ) A A.60 B. C.30 D. 【解析】 选A.由已知得 ， ,所以 ， ，所以 .故选A. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 4.某条江的岸边有一炮台高 ,江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别 为 和 ，而且两条船与炮台底部连线成 角，则两条船相距 ( ) C A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 【解析】 选C.如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂 足为B，设A处观测小船C的俯角为 ， A处观测小船D的俯角为 ， 连接，，在中， ,可得 , 在中， ，可得 , 在中，，， ，由余弦定理 得 . 所以,即两船相距 .故选C. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 5.（2024·贵州贵阳模拟）如图，在山脚 处测得山 顶的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 到，在处测得山顶的仰角为 ，则山高 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.由题意知， , , , ,在中， , , 所以,所以 , 所以 ，故选A. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6.（多选）（2024·山东临沂月考）如图，在海岸上有两个观测点， ， 在的正西方向，距离为,在某天10:00观察到某航船在 处，此时测 得 ，后该船行驶至处，此时测得 , , ,则( ) ABD A.当天10:00时，该船位于观测点的北偏西 方向 B.当天10：00时，该船距离观测点的距离为 C.当船行驶至处时，该船距观测点的距离为 D.该船在由行驶至的这内行驶了 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 【解析】 选 .对于A选项， ,因为C在D的正西方向，所 以A在C的北偏西 方向，故A正确; 对于B选项，在中， ， ，则 .由正弦定理，得 ,故B正确； 对于C选项，在中， ， ，则 ，则 ，于是 ，故C不正确； 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 对于D选项，在 中，由余弦定理得 , 即，故D正确.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点， ， 望对岸的标记物，测得 , , ，则河的宽度是____ . 60 解析：过点作，交于点 （图略）. , , 又 , 所以 , 所以,故，即河的宽度是 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 8.如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东 方 向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达 处，此时 又测得灯塔在它的北偏东 方向，且与它相距 ， 则此船的航行速度是____ . 16 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 解析：因为在中， , , 所以 , 由正弦定理，得 , 即 ， 又因为从到处匀速航行的时间为，所以速度为 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 9.如图，要测出山上一座天文台的高，从山脚处测得 ，天 文台最高处的仰角为 ，天文台底部的仰角为 ，则天文台 的 高为______ . 解析：由题图可得 ， ，故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 10.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC,其中 为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据： ；； .请根据以上数据求出 的面 积. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 解：在 中，由正弦定理得 , 所以,故 ， 因为, , 所以 , 故 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.台风中心从地以 的速度向西北方向移动，离台风中心 内的地区为危险地区，城市在地正西方向的 处，则 城市 处于危险地区内的时长为( ) D A. B. C. D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 【解析】 选D.以为圆心，为半径作圆，与 运动 方向交于A，B两点，由题意知，， ， ，作，垂足为C，则C为 的中点， 因为 ， 所以 ， 所以，所以城市 处于危险地区内的时长为 .故选D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 12.（多选）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个 图书馆，如图，若设健身房在处，图书馆在处，为测量, 两地之间的 距离，甲同学选定了与,不共线的处，构成，为了唯一确定 ， 两地之间的距离，则下列测量数据的方案中，甲同学应选择( ) BD A.测量，， B.测量，， C.测量，， D.测量，， 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 【解析】 选 .对于A选项，测量A，C，B，知道三个角度值，三角形有 无数多组解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于B选项，测量A， B， ，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一 确定A，B两地之间的距离；对于C选项，测量A，， ，已知两边及 其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定A， B两地之间的距离；对于D选项，测量C，， ，已知两边及夹角，由 余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离.综 上可得，选项B,D正确.故选 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 13.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛 与小岛 相距为5海里，.则小岛与小岛 之间的距离为_____海 里；小岛，，所形成的三角形海域 的面积为____平方海里. 15 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 解析：圆的内接四边形对角互补， , 为锐角，,在 中，由正弦定理得 ，故.在 中，由余弦定理得 ,整理得 , , （负根已舍去）. 所以 （平方海里）. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 14.如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从 沿 直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从 沿直线 步行到.现有甲、乙两位游客从下山.甲沿 匀速步行， 速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留 后，再从匀速步行到.已知缆车从到要，长为 ,若 ,.为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ， 求乙步行的速度的取值范围. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 解：在中，因为, , 所以 . 由正弦定理， 得 , 乙从出发时，甲已经走了 , 甲还需走才能到达 . 设乙步行的速度为 , 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 由题意得 , 解得 . 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过 ,乙步行的速度 的取值范围是， . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天 文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定 摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时， 日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长 度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示 意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即））大约为 ，夏至 正午时太阳高度角（即）大约为 ，圭面上冬至线与夏至线之间 的距离（即的长）为，则表高（即的长）为注： ( ) 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 A. B. C. D. √ 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 【解析】 选D.设表高为 ， 则， ， 而，得， ， 故，得 .故选D. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 16.如图，已知两条公路，的交汇点 处有一所学校， 现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂 ，在两公路旁 ，（异于点 ）处设两个销售点，且满足 , , ,设 .注： （1）试用 表示，并写出 的取值范围； 解：在中，由正弦定理得 ,则 . 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 （2）当 为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校 的距离最远）. 解：连接（图略）.在 中，由余弦定理得 , 当且仅当 ,即 ,取得最大值36，即 取得最大值6. 所以当 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 课后达标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 $