7.2.2 复数的乘、除运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

7.2.2　复数的乘、除运算 1 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的运算律（数学运算）. 课标要求 　　初中我们学过多项式的乘法，如（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，那么复数的乘、除法又该如何定义呢？ 情景导入 知识点一　复数的乘法 01 知识点二　复数的除法 02 提能点　在复数范围内解方程 04 目录 课时作业 05 知识点三　i幂值的周期性及应用 03 4 知识点一 复数的乘法 01 PART 目 录 问题1　（1）类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 提示：复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c， d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci ＋adi＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. （2）类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？写出 你的猜想. 提示：猜想：对于任意z1，z2，z3∈C，有： ①交换律：z1z2＝z2z1； ②结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）； ③分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c ＋di）＝ ⁠. 2. 复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ ⁠ 结合律 （z1z2）z3＝ ⁠ 分配律 z1（z2＋z3）＝ ⁠ （ac－bd）＋（ad＋bc）i　 z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P78例3、例4）计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解： （1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i. 解： （2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要 把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便. 例如平方差公式、完全平方公式等. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　D　） A. 2i－13 B. 13＋2i C. 13－2i D. －13－2i 解析： （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－ 13－2i. D 数学·必修第二册 目 录 解析： （1＋ai）（2＋i）＝2－a＋（1＋2a）i，要使复数为纯虚 数，则有2－a＝0，且1＋2a≠0，解得a＝2.故选A. （2）已知i是虚数单位，若复数（1＋ai）（2＋i）是纯虚数，则实数a＝ （　A　） A. 2 B. C. － D. －2 A 数学·必修第二册 目 录 知识点二 复数的除法 02 PART 目 录 问题2　类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复 数的除法运算？ 提示：通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成 的形式，再把分子和分 母都乘以（c－di），化简后得结果，即 ＝ ＝ ＝ ＋ i（c＋di≠0）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 复数的除法法则 （a＋bi）÷（c＋di）＝ ＝ 　 ＋ i　（a，b，c， d∈R，且c＋di≠0）. 　　提醒：复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、 分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、 分母同乘分母的共轭复数. ＋ i　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P79例5）计算： （1）（1－2i）÷（2＋i）； 解： （1－2i）÷（2＋i）＝ ＝ ＝ ＝－i. （2） ； 解： ＝ ＝ ＝－2＋i. （3） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2. 常用公式 （1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1） ＝（　D　） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i 解析： ＝ ＝ ＝2－i. D 数学·必修第二册 目 录 解析： ＝ ＝ ＝ ＝－1＋4i，所以z＝－1－4i. 故选D. （2）已知复数z满足 （1－i）＝3＋5i，则复数z＝（　D　） A. 4＋4i B. 4－4i C. －1＋4i D. －1－4i D 数学·必修第二册 目 录 知识点三 i幂值的周期性及应用 03 PART 目 录 【例3】　（1）若复数z＝ ＋i3＋i4，则z＝（　A　） A. 1－2i B. 1＋2i C. 1 D. －1 解析： z＝ ＋i3＋i4＝ －i＋1＝ －i＋1＝1－2i. 故选A. A 数学·必修第二册 目 录 （2）计算：［（1＋2i）·i100＋（ ）5］2－（ ）20＝ ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝－i，（ ）2＝ ＝i，［（1＋ 2i）·i100＋（ ）5］2－（ ）20＝[（1＋2i）·1＋（－i）5]2－i10＝ （1＋i）2－i10＝1＋2i. 1＋2i　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3 时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果 是 ⁠； 解析： 由复数的运算法则可知1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3 ＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1. （2）计算（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝ ⁠. 解析： （4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝（4－i）（6－ 2i）＋（7－i）（4－3i）＝（24－8i－6i＋2i2）＋（28－21i－4i＋3i2）＝ 47－39i. 1　 47－39i　 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 在复数范围内解方程 目 录 【例4】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0（b，c为实数）的一个根. （1）求b，c的值； 解： ∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数， ∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0， 即b＋c＋（2＋b）i＝0， ∴ 解得 数学·必修第二册 目 录 （2）试判断1－i是不是方程的一个根. 解： 由（1）知方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程， 左边＝（1－i）2－2（1－i）＋2＝0＝右边， 即方程成立.∴1－i是方程的一个根. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方 法： （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝ ； ②当Δ＜0时，x＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）利用复数相等的定义求解:设方程的根为x＝m＋ni（m， n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义 求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 数学·必修第二册 目 录 训练4　（1）已知复数z满足z2＋z＋1＝0且 是z的共轭复数，则z＋ ＝ （　A　） A. －1 B. 1 C. D. － 解析： 由求根公式可知，若z为方程z2＋z＋1＝0的根，则其共轭复 数 也是该方程的根，故z＋ ＝－ ＝－1.故选A. （2）在复数范围内，方程x2－2x＋2＝0的根为 ⁠. 解析： 方程x2－2x＋2＝0中，Δ＝（－2）2－4×1×2＝－4，所以该 方程的根为x1＝ ＝1＋i，x2＝ ＝1－i. A x＝1＋i或1－i　 数学·必修第二册 目 录 1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝ （　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得 解得m＝1. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在复平面内，复数 ＋（1＋ i）2对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为 ＋（1＋ i）2＝ i＋ ＋1－3＋2 i＝－ ＋（ ＋ 2 ）i，故复数对应的点在第二象限. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 方程x2＋3＝0在复数范围内的根为x＝ ⁠. 解析：∵（ i）2＝（－ i）2＝－3，∴方程的根为x＝± i. 4. 计算：（1）（1＋i）2 026； 解： 原式＝[（1＋i）2]1 013＝（1＋2i＋i2）1 013＝（2i）1 013＝21 013·i1 013＝21 013·i4×253＋1＝21 013i. （2）（－2＋3i）÷（1＋2i）. 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. ± i　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）复数的乘法及运算律；（2）复数的除法运算； （3）在复数范围内解方程；（4）i的运算性质及应用. 2.应体会 复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实 数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题， 一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系 仍然成立. 3.避易错 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为 ，那 么z· ＝（　　） A. 5 B. －7 C. 12 D. 25 解析：　由题意得z＝3＋4i， ＝3－4i，则z· ＝（3＋4i）（3－4i） ＝9＋16＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知复数z＝ ＋5i，则｜z｜＝（　　） A. B. 5 C. 3 D. 2 解析：　z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝5 .故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512 解析：　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i， ∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知i是虚数单位，复数z满足 ＝1＋i，那么复数 ＝（　　） A. －1＋i B. －1－i C. 1＋i D. 1－i 解析：　∵ ＝1＋i，∴z＝ ＝ ＝ ＝－i（1 －i）＝－1－i，∴ ＝－1＋i.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕在复平面内，复数z对应的点与复数 对应的点关于实轴对 称，则（　　） A. 复数z＝1＋i B. ｜ ｜＝ C. 复数z对应的点位于第一象限 D. 复数 的实部是－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　复数 ＝ ＝ ＝－1－i对应的点的坐标为 （－1，－1）.因为复数z对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，所 以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z＝－1＋i.故A、C错 误； ＝－1－i，｜ ｜＝ ， 的实部是－1，故B、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕若复数z满足z（1－i）＝｜1－ i｜，则（　　） A. z＝－1＋i B. z的实部为1 C. ＝1＋i D. z2＝2i 解析： 　由z（1－i）＝｜1－ i｜，得z（1－i）＝2，所以z＝ ＝ ＝1＋i，A错误；z的实部为1，B正确； ＝1－i，C错误；z2 ＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. （4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝ ⁠. 解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋2）－（28 ＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i. －5－15i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝ ⁠. 解析：x＝ ＝－3±i. －3±i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 在复数范围内把二次多项式分解为两个一次因式的积，则x2＋x＋2 ＝ ⁠. 解析：设x2＋x＋2＝0，则Δ＝1－8＝－7＜0，所以此方程的两个根为x1＝ ，x2＝ ，所以x2＋x＋2＝（x－ ）（x－ ）. （x－ ）（x－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 计算： （1）（－ ＋ i）（2－i）（3＋i）； 解： （－ ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（－ ＋ i）·（7－i）＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2 ，则t＝ （　　） A. －2 B. －1 C. ±2 D. ±1 解析：　由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝ ＝ ＝ti（1－ i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2 ，所以t2＋t2＝（2 ）2，解得t＝2或t＝ －2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕对任意z1，z2，z∈C，下列结论正确的有（　　） A. 当m，n∈N*时，有zmzn＝zm＋n B. 当z1，z2∈C时，若 ＋ ＝0，则z1＝0且z2＝0 C. 互为共轭复数的两个复数的模相等，且｜ ｜2＝｜z｜2＝z D. z1＝z2的充要条件是｜z1｜＝｜z2｜ 解析： 　由复数乘法的运算律知A正确；取z1＝1，z2＝i，满足 ＋ ＝0，但z1≠0，z2≠0，B错误；由复数的模及共轭复数的概念知结 论成立，C正确；由z1＝z2能推出｜z1｜＝｜z2｜，但由｜z1｜＝｜z2｜ 推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分条件是｜z1｜＝｜z2｜，D错 误.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为 ⁠. 解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4 ＋3＝0， 得 当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1 或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋ 或｜b｜＝ －2－ （舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（ －2）i. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 设复数z1＝2＋ai（a∈R），z2＝1－i，i为虚数单位. （1）若z1·z2为纯虚数，求a的值； 解： 由题得z1·z2＝（2＋ai）（1－i）＝（2＋a）＋（a－2）i， 若z1·z2为纯虚数，则 解得a＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若z1＋2z2为实数，求｜ ｜. 解： 由题得z1＋2z2＝2＋ai＋2－2i＝4＋（a－2）i，若z1＋2z2为实 数，则a－2＝0，解得a＝2，即z1＝2＋2i， 法一　因为 ＝ ＝ ＝2i，所以｜ ｜＝2. 法二　｜ ｜＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知复数z＝1＋bi（b∈R，i为虚数单位），z在复平面内对应的点位 于第四象限，且满足z ＝4（ 为z的共轭复数）. （1）求实数b的值； 解： z＝1＋bi在复平面内对应的点为（1，b），因为该点位于第四 象限，所以b＜0， 由z ＝4，得（1＋bi）（1－bi）＝4，即b2＝3， 所以b＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 法一　因为复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0的一个根， 所以p（1－ i）2＋2（1－ i）＋q＝0， 整理得（－2p＋q＋2）＋（－2 p－2 ）i＝0，又p，q∈R， 所以 解得 所以p＋q＝－5. （2）若复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0（p≠0，且p，q∈R）的一 个复数根，求p＋q的值. 解： 由（1）知z＝1－ i， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 法二　因为二次方程两虚数根互为共轭复数， 所以另一个根为1＋ i， 则 解得 所以p＋q＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $