第8章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间几何体的表面积与体积、空间中的平行关系、垂直关系及空间角等核心内容，通过体系构建将知识点串联，形成从几何体基本量计算到位置关系证明再到空间角求解的逻辑脉络，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于采用“教材原题-高考真题-变式训练”的递进复习策略，如通过圆柱与球的体积比教材题延伸到高考圆锥体积计算，再设计截面面积最值等变式题，培养学生的数学运算和直观想象素养。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准把握复习重点，提升复习效率。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·必修第二册 素养提升 　　 一、几何体的表面积与体积（考教衔接） 1. 主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥 体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割 法、补形法等进行求解. 2. 利用公式求解表面积、体积，提升数学运算素养. 数学·必修第二册 教材原题　（教材P119例4）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直 径，求球与圆柱的体积之比. 数学·必修第二册 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面 积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　　） A. 2 π B. 3 π C. 6 π D. 9 π 解析：　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而 它们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ， 故r＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B. √ 数学·必修第二册 变式1　求表面积运算 如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2 为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为下底面圆O1的一条直径，CD 为上底面圆O2的一条直径，则球与圆柱的表面积之比为 ⁠. 2∶3　 解析：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3. 数学·必修第二册 变式2　求截面面积的最值 在变式1中，若球的半径r＝2，则平面DEF截得球的截面面积最小值 为 ⁠. 解析：ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于 点G，则由题可得OG＝ ＝ ，设点O到平面DEF的 距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，则 d1≤OG， ＝r2－ ＝4－ ≥4－ ＝ ，所以平面 DEF截得球的截面面积最小值为 π. π　 数学·必修第二册 变式3　球的体积与表面积 在变式1中，若内切球的体积和表面积的数值相等，则球的半径为 ⁠. 解析：设球的半径为r，由 πr3＝4πr2，得r＝3. 3　 数学·必修第二册 变式4　求锥体体积 在变式1中，若球的半径r＝2，则四面体C-DEF的体积的取值范围 为 ⁠. 解析：由题意可知四面体C-DEF的体积等于2 ，点E到平面DCO1 的距离d∈（0，2]， 又 ＝ ×4×4＝8，所以2 ＝ ×8d＝ ∈ . 　 数学·必修第二册 【反思感悟】 关于空间几何体的体积、表面积 首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其 次是准确代入相关的公式计算. 数学·必修第二册 二、空间中的平行关系 1. 空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间 几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行. 2. 通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和 直观想象素养. 数学·必修第二册 【例2】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD， MA∥PB，PB＝2MA. 在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面 PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD， 数学·必修第二册 证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点， ∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝ PB，PF＝ PB， ∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. 数学·必修第二册 【反思感悟】 线线平行、线面平行、面面平行间的关系 线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意 转化，相互间的转化关系如图. 数学·必修第二册 三、空间中的垂直关系 1. 主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线 垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. 2. 通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和 逻辑推理素养. 数学·必修第二册 【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边 形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4. 求证： （1）AC⊥平面BCE； 证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2 ，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面 BCE. 数学·必修第二册 （2）AD⊥AE. 证明：因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD. 又 ∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面 ABEF， 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 数学·必修第二册 【反思感悟】 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化 数学·必修第二册 四、空间角 1. 空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定 义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角. 2. 通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养. 数学·必修第二册 【例4】　如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点. （1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都 有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论； 解：是.证明如下：∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，∴平面 BPA⊥平面AA1D1D， ∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D. 数学·必修第二册 （2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值； 解：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图， 则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角. 在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°， ∴A1B1＝A1D1＝ AD1＝2，∴A1E＝ A1D1＝1，AA1＝ A1D1＝2 ，∴PE＝ AA1＝ ，B1E＝ ＝ ， ∴在Rt△B1PE中，B1P＝ ＝2 ，∴ cos ∠B1PE＝ ＝ ＝ ，∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为 . 数学·必修第二册 （3）求PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值. 解：由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1与平面 AA1D1D所成的角， ∴tan∠B1PA1＝ ＝ ，∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时 A1P⊥AD1， A1P＝ ＝ ，得tan∠B1PA1＝ ， 即PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值为 . 数学·必修第二册 【反思感悟】 几何法求空间角的一般思路 （1）将所求空间角转化为平面角，再将该平面角放置在某一个三角形 内，通过解三角形求出该角的大小； （2）求空间角的关键是作平面角 ①求异面直线所成的角采用平移方法构造平面角； ②求线面角一般采用斜线与在该平面内的射影构造直角三角形求解； ③求二面角一般采用定义法或垂面法作二面角的平面角. 数学·必修第二册 $