10.1.2 事件的关系和运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦事件的关系（包含、相等）、运算（并、交）及互斥与对立事件，通过复习集合表示样本空间的旧知，以掷骰子等问题引导学生发现事件间联系，搭建从集合知识到事件关系的学习支架，梳理前后知识脉络。 其亮点在于以问题情境驱动教学，结合Venn图直观呈现概念，通过掷骰子、摸球等实例培养数学抽象与数学思维。课堂小结清单化梳理知识，规律方法强调集合思想与逻辑推理，助力学生深化理解，教师可借助其系统结构提升教学效率。

10.1.2　事件的关系和运算 1 了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算（数学抽象、数学建模）. 课标要求 　　上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？ 情景导入 知识点一　事件的关系 01 知识点二　事件的运算 02 知识点三　互斥事件与对立事件 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 事件的关系 01 PART 目 录 问题1　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事 件，例如： Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； D1＝“点数小于3”；D2＝“点数不小于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”； …… 用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”， 借助集合与集合的关系和运算，你能发现两事件之间的联系吗？事件 D1与E1呢？ 提示：G＝{1，3，5}，{1}⊆{1，3，5}，即C1⊆G. D1＝{1，2}，E1＝ {1，2}，即D1＝E1. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 定义 符号表示 图形表示 包含 关系 一般地，若事件A发生， 则事件B ⁠， 称事件B包含事件A（或事 件A包含于事件B） B ⁠A （或A B） 相等 关系 如果事件B 事件 A，事件A 事件 B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A ⁠B 一定发生　 ⊇　 ⊆　 包含　 也包含　 ＝　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4 点”；E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于 1”；H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数 点”. 请判断下列两个事件的关系： （1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点 四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J， E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G. ⊆　 ⊆　 ⊆　 ＝　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系. 数学·必修第二册 目 录 训练1　掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面 向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判 断事件A，B，C之间的包含关系. 解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发 生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件 B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 事件的运算 02 PART 目 录 问题2　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数： （1）用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1 或2”，事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发 现这些事件之间的联系吗？ 提示：D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}.{1，2}∪{2，3}＝{1， 2，3}，即E1∪E2＝D1. 数学·必修第二册 目 录 （2）事件C2＝“点数为2”，事件E1＝“点数为1或2”，事件E2＝ “点数为2或3”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之 间的联系吗？ 提示：C2＝{2}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，{1，2}∩{2，3}＝{2}，即 E1∩E2＝C2. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 定义 符号表示 图形表示 并事件 （或和 事件） 一般地，事件A与事件B ⁠ 有一个发生，这样的一个 事件中的样本点或者在事件A 中，或者在事件B中，我们称这 个事件为事件A与事件B的并事 件（或和事件） A ⁠B （或A ⁠B） 至 少　 ∪　 ＋　 数学·必修第二册 目 录 定义 符号表示 图形表示 交事件 （或积 事件） 一般地，事件A与事件B ⁠ 发生，这样的一个事件中 的样本点既在事件A中，也在事 件B中，我们称这样的一个事件 为事件A与事件B的交事件（或 积事件） A ⁠B （或AB） 同 时　 ∩　 　　提醒：对于三个事件A，B，C，至少有一个发生可表示为A∪B∪C （或A＋B＋C）；同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）. 数学·必修第二册 目 录 【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3 个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事 件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白 球”. 求：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？ 解： 对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个 白球，故D＝A∪B. （2）事件C与A的交事件是什么事件？ 解： 对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白 球或3个均为红球，故C∩A＝A. 数学·必修第二册 目 录 变式　在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一 个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么 事件？ 解：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3 个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C. 而事件F包括的可能结果有1个白球、 2个红球或2个白球、1个红球或3个白球，所以C∩F＝D. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 事件间的运算方法 （1）利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结 果，分析并利用这些结果进行事件间的运算； （2）利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有 可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那 么A＝A1∪A2∪A3表示（　B　） A. 全部击中 B. 至少击中1发 C. 至少击中2发 D. 以上均不正确 解析： A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至 少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. B 数学·必修第二册 目 录 （2）在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数” 中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机 事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表 示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝ （　D　） A. {（6，6）} B. {（4，6），（6，6）} C. {（5，6），（6，6）} D. {（4，6），（6，4），（6，6）} D 数学·必修第二册 目 录 解析： 根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6）， （4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事 件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6， 6）}，所以事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 互斥事件与对立事件 目 录 问题3　在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数： （1）用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”， 借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示：C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝⌀. （2）用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇 数”，借助集合与集合的基本运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}.F∪G＝Ω，F∩G＝⌀. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 互斥事件 定义 一般地，如果事件A与事件B 发生，也就是说 A∩B是一个 事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容） 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝⌀ 图形表示 不能同时　 不可能　 ⌀　 数学·必修第二册 目 录 2. 对立事件 定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中 发生，即A∪B＝ ，且A∩B＝⌀，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 ⁠ 含义 A与B ⁠发生 符号表示 A∩B＝⌀，A∪B＝Ω 图形表示 　　提醒：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立. 有且仅有一个　 Ω　 　 有且仅有一个　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　（1）一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次 击中”互为对立事件的是（　D　） A. 两次均击中 B. 恰有一次击中 C. 第一次击中 D. 两次均未击中 解析： 事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击 中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确. D 数学·必修第二册 目 录 （2）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而 不对立的两个事件的是（　D　） A. “至少有1个红球”与“都是黑球” B. “恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C. “至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D. “都是红球”与“都是黑球” D 数学·必修第二册 目 录 解析： 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有 以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与 “都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰 好有1个黑球，是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包 括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是 互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件 而不是对立事件，因此D满足题意. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 辨析互斥事件与对立事件的思路 （1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发 生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发 生，但不可能同时发生； （2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立 的概念只适用于两个事件. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件， 则事件A与事件B的关系是（　C　） A. 互斥不对立 B. 对立不互斥 C. 互斥且对立 D. 不互斥也不对立 解析： 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生， 故事件A与事件B的关系是互斥且对立. C 数学·必修第二册 目 录 （2）如果事件A，B互斥，记 ， 分别为事件A，B的对立事件，则下 列说法正确的是（　B　） A. A∪B是必然事件 B. ∪ 是必然事件 C. 与 一定互斥 D. 与 一定不互斥 解析： 用Venn图解决此类问题较为直观， 如图所示， ∪ 是必然事件，则B正确，A、C错误.若A 与B互斥且对立，则 ＝B， ＝A，则D错误. B 数学·必修第二册 目 录 1. 掷一枚骰子，设事件A＝“出现的点数不小于5”，B＝“出现的点数 为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　） A. A⊆B B. A∩B＝“出现的点数为6” C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B对立 解析：　由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是 2或4或6.故A∩B＝“出现的点数为6”. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 解析：　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中 两事件能同时发生，故不是互斥事件. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为 ⁠ ⁠. 解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点. 4. 甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B， 则 B∪A 表示的含义是 ，事件“密码被破译” 可表示为 ⁠. 出现偶数 点　 只有一人破译出密码　 B∪A ∪AB　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）事件的包含关系与相等关系； （2）并事件和交事件； （3）互斥事件和对立事件. 2.应体会 列举法、Venn图法. 3.避易错 互斥事件和对立事件之间的关系易混淆. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数 大于5，则（　　） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A⊆B D. A⊇B 解析：　事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于 5即命中6或7或8或9或10环，所以A⊆B. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件 A，则A的对立事件是（　　） A. 至多有一件次品 B. 两件全是正品 C. 两件全是次品 D. 至多有一件正品 解析：　从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次 品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A表示“所取的3个 球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（　　） A. 所取的3个球中至少有一个白球 B. 所取的3个球中恰有2个白球、1个黑球 C. 所取的3个球都是黑球 D. 所取的3个球中恰有1个白球、2个黑球 解析：　从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所 取的3个球中至多有1个白球”，事件A的对立事件是所取的3个球中白 球多于1个，结合选项知事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白 球、1个黑球. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为 事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点 个数分别为（　　） A. 1，6 B. 4，2 √ 解析：　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间 为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3， 4）}，其中事件A包含的样本点有（1，4），（2，3），（2，4），（3， 4），共4个，事件B包含的样本点有（1，3），（2，4），共2个.所以事 件A＋B包含的样本点有（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）， （3，4），共5个.事件AB包含的样本点有（2，4），共1个.故选C. C. 5，1 D. 6，1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 设A，B为随机事件，则下列阴影部分表示事件 ∩B的是（　　） 解析：　对于A，阴影部分表示A∩ ，故A错误；对于B，阴影部分表 示 ∩B，故B正确；对于C，阴影部分表示A∪B，故C错误；对于D，阴 影部分表示（A∩ ）∪（ ∩B），故D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A： 全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下 列结论中正确的是（　　） A. A与C互斥 B. B与C互斥 C. 任何两个事件都互斥 D. A与B对立 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件 B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正 品，两件次品一件正品，共两个样本点，所以事件A与C互斥，B与C互 斥，A与B互斥，即任何两个事件都互斥，故A、B、C都正确；A与B互 斥，由于样本空间中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个样 本点，所以事件A与B不对立，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件 A＝“两枚炮弹都击中飞机”，事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，事 件C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D＝“至少有一枚炮弹击中飞 机”，则下列关系正确的是（　　） A. A∩D≠⌀ B. B∩D＝⌀ C. A∪B＝B∪D D. A∪C＝D √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：由题意得，事件C＝“第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中”，事件D＝“恰有一枚击中或两枚都击中”.对于A，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∩D＝A，A正确；对于B，由事件B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得事件B与事件D是互斥事件，所以B∩D＝⌀，B正确；对于C，由事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，B＝“两枚炮弹都没击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪B不是必然事件，B∪D为必然事件，所以A∪B≠B∪D，C不正确；对于D，事件A＝“两枚炮弹都击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，得A∪C＝D，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元 件故障”，则表示电路有故障的事件为 ；表示电路无故障的事 件为 ⁠. 解析：因为该电路为两个电子元件串联，如图所示， 由题意知 ＝“甲元件无故障”， ＝“乙元件无故 障”，则表示电路有故障的事件为E∪F，表示电路无故障的事件为 ∩ . E∪F　 ∩ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”， 事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2 和4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是 ⁠ ⁠. A 与C　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A， “一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面 向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为 事件E. （1）试判断事件A与事件B，C，E的关系； 解： 事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次 反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个 样本点， 所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A＝B∪C∪E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）试求A∩D，B∪C所包含的样本点，并判断A∩D与B∪C的关系. 解： “至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次 反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个 样本点，可以看出事件A与事件D有相同的两个样本点，即“一次正面向 上，两次反面向上”“两次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次 正面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正 面向上两次反面向上，两次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝ B∪C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 盒子内有3个红球，2个白球，1个黑球，从中任取2个球，则下列选项 中的两个事件互斥而不对立的是（　　） A. “至少有1个白球”和“至多有1个白球” B. “至少有1个白球”和“至少有1个红球” C. “至少有1个白球”和“没有白球” D. “至少有1个白球”和“红球、黑球各1个” √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　当取出的2个球是1白1红时，A中两个事件同时发生，所以A中 的两个事件不是互斥事件，此时B也一样，所以排除A、B；C中，两个事 件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是互斥且对 立事件，所以排除C；D中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个 球都是红球时，这两个事件都没有发生，所以D中的两个事件是互斥事件 但不是对立事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕从1，2，3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的是 （　　） A. 恰有一个偶数和恰有一个奇数 B. 至少有一个偶数和两个都是偶数 C. 至少有一个奇数和两个都是偶数 D. 至少有一个奇数和至少有一个偶数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：根据题意，从1，2，3，…，9中任取两个数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”，共三种情况，依次分析所给的4个事件.对于A，恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”的情况，不是对立事件；对于B，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”不是对立事件；对于C，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个都是偶数”是对立事件；对于D，至少有一个奇数包括“两个奇数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”和“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. （2025·丽水月考）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝ ⁠ .（用B，C，D间的运算关系式表示） B∩（C∪D）（或（BC）∪ （BD））　 解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用关系式表示为B∩（C∪D）.也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用关系式表示为（BC）∪（BD）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝ “只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报 纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”.根据上 述事件回答下列问题： （1）请列举出具有包含关系的事件； 解： “至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A⊆C. 同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D. （2）用并事件的定义判断上述事件中哪些是并事件； 解：由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F，D＝A∪B∪E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （3）从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件. 解： 由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E， A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生. （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所 代表的事件； 解：区域1表示事件“这名学生同时订阅了数学、语文、英语三种学习资料”；区域4表示事件“这名学生订阅了数学、语文两种学习资料，但没有订阅英语学习资料”；区域5表示事件“这名学生仅订阅了语文学习资料”；区域8表示事件“这名学生没有订阅数学、语文、英语学习资料”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料； ③没有订阅任何学习资料. 解： ①A∪B∪C. ②A ＋ B ＋ C. ③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $