第三单元运用长方体和正方体的表面积解决问题高频常考易错题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

第三单元运用长方体和正方体的表面积解决问题高频常考易错题(专项训练) 一、解答题 1.一间教室长9米、宽6米、高3米,要粉刷教室的四周和顶部,扣除门窗和黑板的面积21.5平方米,如果每千克涂料可以粉刷2.5平方米,粉刷这间教室要用多少千克涂料? 2.如图,用这样的两个正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积是多少平方厘米?(请你画出拼成的长方体的草图) 3.小明家想在空地上搭建一间阳光玻璃房,若搭成一个长、宽、高均为3米的正方体(如图),需要多少米钢材?(地面的四边不装,材料厚度、接头处忽略不计。)需要多少平方米玻璃? 4.快过六一了,学校准备订购一些卡纸做长方体的手提纸袋(如图),请你帮忙计算一下,做50个这样的纸袋至少需要多少平方米的硬卡纸?(接头忽略不计) 5.有一个棱长是3分米的正方体零件,从它一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长1分米的正方形的小长方体(如图),求加工后这个零件的表面积。 6.四川成都自古被誉为“天府之国”,又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台,柜台长0.9米,宽0.4米,高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装玻璃,至少需要多少平方米的玻璃?(下底面不需要安装玻璃) 7.做一个长方体的水缸(无盖),长8分米,宽4分米,高6分米,至少需要多少平方分米的玻璃?如果每平方分米玻璃4.5元钱,至少需要多少元钱买玻璃? 8.如图,在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米? 9.博物馆里有许多保护文物的透明展示罩(无底),下图所示:这是其中一个,长是2米,宽0.6米,高0.8米,制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料? 10.下面是一个长方体展开图,折成的长方体的长是( )厘米,宽是( )厘米,高是( )厘米,这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米? 11.学校利用假期对教室内的墙壁和顶进行粉刷。已知每间教室的长是8米,宽是6.5米,高是3米,门窗和黑板的面积一共是平方米。如果每平方米涂料需要7元,粉刷10间这样的教室需要花费多少钱? 12.请你设计一个长方体包装盒,恰好能装下4个摞在一起的玻璃杯。为了展示出玻璃杯的样子,前面使用透明塑料膜,其他各面都用纸板。做这个包装盒至少需要多少平方厘米纸板?(纸板厚度和粘接重叠部分忽略不计)图中单位(厘米)。 13.青花瓷作为中国传统瓷器的瑰宝之一,其独特魅力和文化价值不容忽视。下图是一款背花瓷花瓶,商家为了防止花瓶损坏,一般用长方体纸盒进行包装,包装这个花瓶至少需要用多少平方厘米的纸板?(可以先画一画包装盒的样子,再解答,解答时,接缝处忽略不计。) 14.为锻炼同学们的管理能力,五(1)班每学期都要搞班委竞选活动。小丽帮助班主任李老师做投票箱,她把一个长为5分米、宽为4分米、高为3分米的长方体纸箱各面贴上红纸,在其中一个面上开一个长方形(面积为1平方分米)的小口便于投票,她至少需要多少平方分米的红纸? 15.超级计算机,被称为“国之重器”。我国自主研发出世界第一台速度超过每秒10亿亿次的超级计算机一神威 太湖之光。它计算一分钟所得出的数据就相当于全球70亿人口计算32年的总和。“神威 太湖之光”有40个运算机柜和8个网络机柜,每个运算机柜长0.83米、宽0.67米、高1.90米。如果给运算机柜设计铁皮转运箱,每个至少需要铁皮多少平方米? 16.如图是棱长2厘米的小正方体堆放在墙角处,露在外面的面积是多少平方厘米? 17.如图,有一个长方体物体,底面是正方形,中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中,它与水接触的面积是多少平方厘米? 18.如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形,求这个立体图形的表面积。 19.小宇的爷爷是一位手工艺人,他用木条做一个长和宽都是15厘米,高是28厘米的长方体花灯框架,然后在花灯的四周和上面粘贴彩纸,如图所示。 (1)制作这个花灯用掉的木条最少是多少厘米?(接头不计) (2)制作这个花灯至少需要准备多少平方厘米的彩纸? 20.某古建筑景点定做了25个宫灯(如图,单位:厘米)。宫灯外侧有一层外饰面(上、下面除外)。如果外饰面每平方米18元,这些宫灯的外饰面一共要花多少钱? 21.立体图形的表面积。 用如图的硬纸板中的五块做一个无盖的长方体纸盒,可以做成不同规格的纸盒,如果要使纸盒的表面积最大,应该选哪几块?先选择序号( ),再计算它所需硬纸板是多少平方分米?(单位:分米) 22.如图,把一个长、宽、高分别为12厘米、7厘米、9厘米的长方体木块沿着一个方向锯开,能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小?请在图中画一画,并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 23.为了保护书籍,我们可以为图书做上封套,封套样式如下图所示: 丽丽有一套《藏在地图里的国家地理》丛书,共有四册,这四册书的尺寸完全相同,每册书的长、宽如下图所示,每册书的厚度为2厘米。她想做一个封套,把这套书都装进去。做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板?(硬纸板的厚度及接缝处忽略不计) 24.数学课上,李老师让同学们求制作下图的纸盒至少需要多少硬纸板?(粘贴处忽略不计) 王东列出的算式是:(平方分米)。你认为王东的算式对吗?请你用画图或文字进行解释。 25.水立方位于北京奥林匹克公园内,它与一墙之隔的鸟巢一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池,它的长是50米,宽是65米,深是3米。 (1)在内壁沿池底向上2米处画一条水位线,水位线的全长是( )米。 (2)如果用瓷砖贴水池的四周和底面,贴瓷砖的面积是多少平方米? 参考答案 1.49千克 【分析】根据题意,要粉刷教室的四周和顶部,即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面;根据“长 宽+长 高 2+宽 高 2”求出这5个面的面积之和,然后减去门窗和黑板的面积,就是需粉刷的面积,再除以每千克涂料可以粉刷的面积,即是粉刷这间教室要用涂料的质量。 【解答】9 6+9 3 2+6 3 2 =54+54+36 =144(平方米) (144-21.5) 2.5 =122.5 2.5 =49(千克) 答:粉刷这间教室要用49千克涂料。 2.图见详解;640平方厘米 【分析】根据题意,把两个同样的正方体拼成一个长方体,可以拼成一行,这样拼成的长方体的长是(8 2)厘米,宽和高都是8厘米;根据长方体的表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2,代入数据计算,求出拼成的长方体的表面积。 【解答】如图: 长:8 2=16(厘米) 宽、高都是8厘米。 (16 8+16 8+8 8) 2 =(128+128+64) 2 =320 2 =640(平方厘米) 答:拼成的长方体的表面积是640平方厘米。 3.24米;45平方米 【分析】通过观察图形,搭建这个阳光玻璃房需要钢材的长度等于这个正方体的8条棱的长度(地面上的4条棱不需要),根据乘法的意义,用乘法解答,再根据正方体表面积=棱长 棱长 6,由于地面不装玻璃,所以计算5个面即可解答。 【解答】3 8=24(米) 3 3 5=45(平方米) 答:一共需要24米钢材,45平方米玻璃。 4.17.5平方米 【分析】从图中可知,长方体的手提纸袋只有下面、前后面、左右面共5个面,根据“长 宽+长 高 2+宽 高 2”求出这5个面的面积之和,再乘50,即是做50个这样的纸袋至少需要硬卡纸的面积。注意单位的换算:1平方米=10000平方厘米。 【解答】30 10+30 40 2+10 40 2 =300+2400+800 =3500(平方厘米) 3500 50=175000(平方厘米) 175000平方厘米=17.5(平方米) 答:做50个这样的纸袋至少需要17.5平方米的硬卡纸。 5.64平方分米 【分析】这个零件的表面积=完整的正方体表面积-2个边长1分米的正方形面积+中间长方体前后左右4个面的面积和,正方体表面积=棱长 棱长 6,中间长方形前后左右4个面是完全一样的长方形,据此列式解答。 【解答】3 3 6-1 1 2+1 3 4 =54-2+12 =64(平方分米) 答:这个零件的表面积是64平方分米。 6.5.04平方米 【分析】求玻璃的面积相当于求长方体的表面积,因为下底面不需要安装玻璃,因此玻璃的面积=长 宽+长 高 2+宽 高 2,据此列式解答。 【解答】0.9 0.4+0.9 1.8 2+0.4 1.8 2 =0.36+3.24+1.44 =5.04(平方米) 答:至少需要5.04平方米的玻璃。 7.176平方分米;792元 【分析】求需要多少平方分米的玻璃,就是求长方体水缸的表面积。水缸无盖,那么根据长方体的表面积公式,水缸的表面积=长 宽+(长 高+宽 高) 2,据此求出需要玻璃的面积。用玻璃的单价乘玻璃的面积即可求出总价。 【解答】8 4+(8 6+4 6) 2 =32+(48+24) 2 =32+72 2 =32+144 =176(平方分米) 176 4.5=792(元) 答:至少需要176平方分米的玻璃,至少需要792元钱买玻璃。 8.170平方分米 【分析】分析题目,通过平移可知:这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面,据此结合正方体的表面积=棱长 棱长 6列式计算即可。 【解答】5 5 6+1 1 4+2 2 4 =25 6+1 4+4 4 =150+4+16 =170(平方分米) 答:挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 9.5.36平方米 【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积,因为无底,展示罩的面积=长 宽+长 高 2+宽 高 2,据此列式解答。 【解答】 (平方米) 答:制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。 10.30;15;15;2250平方厘米 【分析】看图可知,这个长方体有两个面是正方形,其他四个面都是长方形,并且这四个面完全相同。折成长方体后,长30厘米,宽和高都是15厘米,根据长方体表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2,列式解答即可。 【解答】折成的长方体的长是30厘米,宽是15厘米,高是15厘米。 (30 15+30 15+15 15) 2 =(450+450+225) 2 =1125 2 =2250(平方厘米) 答:这个长方体纸盒的表面积是2250平方厘米。 11.8498元 【分析】学校利用假期对教室内的墙壁和顶进行粉刷,就是粉刷教室这样的长方体的五个面的面积。且门窗和黑板不粉刷,则粉刷教室的面积=长方体5个面的面积-门窗和黑板的面积。长方体五个面的面积=长 宽+(长 高+宽 高)。每平方米涂料需要7元,得出粉刷一间教室的钱=粉刷的面积 每平方米需要的钱,最后再乘10即可。 【解答】8 6.5+(8 3+6.5 3) 2-17.6 =52+(24+19.5) 2-17.6 =52+43.5 2-17.6 =52+87-17.6 =139-17.6 =121.4(平方米) 121.4 7 10 =849.8 10 =8498(元) 答:粉刷10间这样的教室需要花费8498元。 12.230平方厘米 【分析】由图可知,包装盒的长和宽至少为5厘米,一个玻璃杯的高度是6厘米,增加一个玻璃杯高度增加8-6=2厘米,用一个杯子的高度再加上上面的三个杯子的高度就是6+3 2=12厘米,即这个包装盒的高至少是12厘米;前面使用透明塑料膜,其他各面都用纸板,也就是长方体盒子前面长乘高的面积少算一个,即需要的纸板的总面积=长 高+(宽 高+长 宽) 2。 【解答】长:5厘米 宽:5厘米 高:6+(8-6) (4-1) =6+2 3 =6+6 =12(厘米) 5 12+(5 5+5 12) 2 =60+(25+60) 2 =60+85 2 =60+170 =230(平方厘米) 答:做这个包装盒至少需要230平方厘米纸板。 13.2250平方厘米 【分析】根据题意可知,这个包装盒的底面边长是15厘米,包装盒的高是30厘米,根据长方体的表面积S=(ab+ah+bh) 2,把数据代入公式解答。 【解答】如图: (15 15+15 30+15 30) 2 =(225+450+450) 2 =(675+450) 2 =1125 2 =2250(平方厘米) 答:包装这个花瓶至少需要用2250平方厘米的纸板。 14.93平方分米 【分析】求需要红纸的面积,就是求这个长方体的表面积减去小口的面积,根据长方体的表面积S=(ab+ah+bh) 2,代入数据解答即可。 【解答】(5 4+4 3+5 3) 2-1 =(20+12+15) 2-1 =(32+15) 2-1 =47 2-1 =94-1 =93(平方分米) 答:她至少需要93平方分米的红纸。 15.6.8122平方米 【分析】运算机柜的铁皮转运箱是一个长方体,求出它的表面积就是每个铁皮运转箱所需铁皮的面积,长方体的表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2,据此代入数据解答即可。 【解答】1.90=1.9 (0.83 0.67+0.83 1.9+0.67 1.9) 2 =(0.5561+1.577+1.273) 2 =(2.1331+1.273) 2 =3.4061 2 =6.8122(平方米) 答:如果给运算机柜设计铁皮转运箱,每个至少需要铁皮6.8122平方米。 16.52平方厘米 【分析】从上面看,有7个面露在外面,从前面看,有4个面露在外面;从右边看,有2个面露在外面;一共有(7+4+2)个面露在外面,根据正方形面积公式:面积=边长 边长,代入数据,求出正方体的一个面的面积,再乘露在外面面的个数,即可解答。 【解答】7+4+2 =11+2 =13(个) 2 2 13 =4 13 =52(平方厘米) 答:露在外面的面积是52平方厘米。 17.1470平方厘米 【分析】从图中可知,这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形,物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形,根据长方形的面积=长 宽,求出一个面的面积,再乘4,分别求出长方体外面、里面的侧面积; 这个长方体物体的底面积=边长为10厘米的正方形的面积-边长为5厘米的正方形的面积,根据正方形的面积=边长 边长求解; 如果把这个物体浸没在水中,它与水接触的面积=物体外面的侧面积+物体里面的侧面积+物体的底面积 2,据此求出物体与水接触的面积。 【解答】物体外面的侧面积:10 22 4=880(平方厘米) 物体里面的侧面积:5 22 4=440(平方厘米) 物体的两个底面积: (10 10-5 5) 2 =(100-25) 2 =75 2 =150(平方厘米) 物体与水接触的面积: 880+440+150=1470(平方厘米) 答:它与水接触的面积是1470平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用,分析出物体接触水的面是哪些面,再根据图形的面积公式求解。 18.856平方分米 【分析】由图可知,可以将小正方体的上面借给大正方体用,这样大正方体的六个面就全了,而小正方体只剩下四个侧面,所以要求这个组合图形的表面积,就是要求大正方体的表面积加小正方体的四个侧面积,据此可解答。 【解答】大正方体表面积:10 10 6=100 6=600(平方分米) 小正方体四个侧面积:8 8 4=64 4=256(平方分米) 立体图形的表面:600+256=856(平方分米) 答:这个立体图形的表面积是856平方分米。 【点睛】解答本题关键利用正方体表面积公式:正方体表面积=6 棱长 棱长。 19.(1)232厘米 (2)1905平方厘米 【分析】(1)用掉木条的长度最少应该是等于长方体的所有棱长之和,长方体有12条棱,分别是4条长、4条宽、4条高,求出一组长宽高的和再乘4即可求出棱长和。 (2)需要的彩纸的面积最少应该是长方体框架4个侧面和1个顶面的面积之和,其中4个侧面的长方形相同,面积都可以用15乘28计算,顶面是边长为15厘米的正方形。 【解答】(1)(15+15+28) 4 =58 4 =232(厘米) 答:制作这个花灯用掉的木条最少是232厘米。 (2)15 28 4+15 15 =1680+225 =1905(平方厘米) 答:制作这个花灯至少需要准备1905平方厘米的彩纸。 20.900元 【分析】宫灯分成两部分,上下两个长方体,外饰面的面积等于这两个长方体的侧面积之和,根据长方体的侧面积=底面周长 高,据此求出一个宫灯外饰面的面积,再乘25求出25故宫灯外饰面的面积,最后用外饰面的面积乘每平方米的价格即可解答。 【解答】(66 4 20+46 4 80) 25 =(5280+14720) 25 =20000 25 =500000(平方厘米) 500000平方厘米=50平方米 50 18=900(元) 答:这些宫灯的外饰面一共要花900元。 21.(1)、(4)、(5)、(7)、(9);26平方分米 【分析】 做一个无盖的长方体纸盒,即纸盒表面有五个面,要使表面积最大则尽可能选取面积大的长方形或正方形,同时需要保证长方体的长、宽、高对等;再根据长方形面积=长 宽,将5面面积相加得出面积。 【解答】要使纸盒的表面积最大,可选择(1)作为长方体纸盒的正面,(4)作为背面,(5)作为左侧面,(9)作为右侧面,(7)作为底面,即应该选用:(1)、(4)、(5)、(7)、(9); 所需硬纸板面积为: (平方分米) 答:应该选用(1)、(4)、(5)、(7)、(9)序号的纸板;它所需硬纸板是26平方分米。 【点睛】本题主要考查的是长方体的表面积,解题的关键是熟练掌握长方体的表面展开图,进而得出答案。 22.图见详解;636平方厘米 【分析】以大长方体的宽和高为锯开面的长和宽,增加的表面积最小。据此,先求出大长方体的表面积,再加上两个锯开面的面积,即可求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 【解答】如图: (12 9+12 7+9 7) 2+9 7 2 =(108+84+63) 2+126 =255 2+126 =510+126 =636(平方厘米) 答:锯开后的两个小长方体木块的表面积之和是636平方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的表面积,长方体表面积=(长 宽+长 高+宽 高) 2。 23.1664平方厘米 【分析】观察图形可知,这个封套是一个长方体,这个长方体的长为28厘米,宽为20厘米,高为2 4=8厘米,封套的面积=长 宽 2+长 高+宽 高 2,据此代入数值进行计算即可。 【解答】2 4=8(厘米) 28 20 2+28 8+20 8 2 =1120+224+320 =1344+320 =1664(平方厘米) 答:做这个封套至少需要1664平方厘米的硬纸板。 【点睛】本题考查长方体的表面积,明确封套少了哪个面的面积是解题的关键。 24.对;理由见详解 【分析】长方体的六个面都是长方形,特殊情况下有两个相对的面是正方形,当有两个相对的面是正方形时,其它四个面是形状完全相同的长方形,求制作纸盒需要硬纸板的面积就是求长方体的表面积,长方体六个面的总面积叫做它的表面积,长方体的表面积=(长 宽+宽 高+长 高) 2,据此解答。 【解答】(4 6+4 6+4 4) 2 =(24+24+16) 2 =64 2 =128(平方分米) 分析可知,图中长方体的上、下底面是正方形,四个侧面是形状完全相同的长方形,所以可以列式为: 4 4 6+4 4 2 =16 6+16 2 =96+32 =128(平方分米) 答:至少需要128平方分米硬纸板,王东的算式对。 【点睛】掌握长方体的特征和长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 25.(1)230 (2)3940平方米 【分析】(1)根据题意,在内壁沿池底向上2米处画一条水位线,那么水位线的全长是2条长与2条宽的长度之和,根据长方形的周长=(长+宽) 2即可求解。 (2)如果用瓷砖贴水池的四周和底面,即贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面;根据“长 宽+长 高 2+宽 高 2”求出这5个面的面积之和,即是贴瓷砖的面积。 【解答】(1)(50+65) 2 =115 2 =230(米) 水位线的全长是230米。 (2)50 65+50 3 2+65 3 2 =3250+300+390 =3940(平方米) 答:贴瓷砖的面积是3940平方米。 【点睛】本题考查长方形的周长、长方体的表面积公式的灵活运用,求贴瓷砖的面积时,要弄清缺少哪个面,需要求哪几个面的面积,然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 学科网(北京)股份有限公司 $