精品解析：江西省九江市田家炳实验中学2025-2026学年上学期第四次月考九年级数学试题

九江田中2025~2026学年度九年级第四次数学阶段性练习 考试时间：120分钟 一、单选题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，这是某模具公司生产的一块模具，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握从正面看到的图形是正视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图是解题的关键． 找出从上面看到的图形即可，注意：看见的棱都要用实绩画出． 【详解】解：从上面看到的图形是两个相邻的长方形，左边长方形的宽比右边长方形的宽要小，如图： 故选：B． 2. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法判断即可． 【详解】∵有一个角是平行四边形是矩形， ∴①表示有一个角是直角是正确的； ∴A的描述正确，不符合题意； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴②表示有一组邻边相等是正确的； ∴B的描述正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形是矩形， ∴③表示四个角都相等是错误的； ∴C的描述错误，符合题意； ∵对角线相等的菱形是正方形， ∴④表示对角线相等是正确的； ∴D的描述正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键． 3. 将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ） A. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选D． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可． 【详解】解： 由勾股定理得：， 所以，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键． 5. 抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的综合，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别判断反比例函数图象与抛物线的位置，即可求解，熟练掌握反比例函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在轴上，且与轴交点为，故四个选项都不符合题意； 当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在轴上，且与轴交点为，故A选项符合题意， 故选：A． 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据题意可得函数的最小值为，据此可判断④． 【详解】解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 对称轴为直线，， ∴函数的最小值为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及方程根的应用，解题的关键是根据根的定义代入求值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的条件． 将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）确定的最终值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程，得，即， 解得或． 又该方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 因此． 故答案为：． 8. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是根据红球的频率稳定值得到其概率，再结合概率公式列方程求解． 根据频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，则摸到白球的频率稳定在，利用白球数量与概率关系列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 即． ， ， ，． 故口袋中红球可能有12个． 故答案为：12． 9. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 10. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有，再结合函数图象所在的象限，确定k的值． 【详解】解：如图，连接， 轴， ， ， ， 反比例函数的图象的一支位于第一象限， ， ， 故答案为：6． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，_____． 【答案】或5． 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角，即可求解；当点B′落在AD边上时，根据此时四边形ABEB′为正方形解答． 【详解】①AB=5，BC=12，则AC=13， 当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角， 即A、B′、C三点共线， 设：BE=a=BE′，则CE=12-a，AB=AB′=5， B′C=AC-AB′=13-5=8， 由勾股定理得：（12-a）2=a2+82， 解得：a=， 故答案为． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=5． 综上所述，BE的长为或5． 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题关键是确定当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角，进而求解． 三、解答题（本大题共5小题，共计分） 13. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和一元二次方程的解法， 熟练掌握运算法则和一元二次方程的解法是关键． （1）代入特殊角的三角函数值、计算绝对值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）变形，得到或，解一元一次方程即可求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ∴或 解得 14. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将（1）中函数表达式化为顶点式，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点和， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由 得该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 15. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的判定定理是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点 ， 四边形是菱形． 16. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 【答案】（1）；（2）见解析，. 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝； （2）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据位似图形的性质可直接进行求解； （2）根据相似三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：所作点M如图所示： 四、解答题（本大题共3小题，共计24分） 18. 已知一次函数（k，b是常数且图象和反比例函数的图象相交于，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积： （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式： （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题． （1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可； （2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可； （3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象下方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得到， ∴反比例函数解析式为； 将代入，得， ∴， 将，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：，令，即， 解得， ∴点， ∴ ； 【小问3详解】 解：由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象下方部分x的取值范围， ∴或； 19. 已知：如图，在中，，，，、分别是、边上的中点，与相交于点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据在中，，，，可以求得长，然后根据点为的中点，可以得到的长； （2）作于点，然后根据题意，可以求得和的长，从而可以得到的值． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 是斜边上的中点， ， 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 点是边上的中点， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得m＋n＝1，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，，则：______，______． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）直接根据根与系数的关系可得答案； （）由题意得出可看作方程的两个根，据此得到，，将其代入变形后的式子计算即可求解； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【小问1详解】 ∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 故答案为；，； 【小问2详解】 ∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，共计18分） 21. 某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ （3）设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件儿童玩具的售价为12元． （3）每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，根据等量关系建立函数解析式成为解题的关键． （1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式即可； （2）根据每件的销售利润、每天的销售量、利润的关系列出一元二次方程求解即可； （3）利用销售该玩具每天的销售利润为每件的销售利润与每天的销售量的积，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 整理得：，解得：， ∵， ∴； 答：若该商店销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为12元． 【小问3详解】 解：根据题意得： ； ∵，且x为整数， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为525． 答：每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明即可得到． （2）想证明，通过观察为比例中项，只需证明，即可到得答案． （3）根据学过的知识，出现比例中项的只有在三角形相似这个章节，所以只要证明即可到得答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 该菱形改变为正方形时， 由（2）知：， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得正方的边长． 【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江田中2025~2026学年度九年级第四次数学阶段性练习 考试时间：120分钟 一、单选题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，这是某模具公司生产的一块模具，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ） A. ①表示有一个角是直角 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示四个角都相等 D. ④表示对角线相等 3. 将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ） A. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. cosB＝ D. tanB＝ 5. 抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若关于一元二次方程有一个根为0，则的值为______． 8. 在一个不透明口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有__________个． 9. 如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 10. 如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 _____． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，_____． 三、解答题（本大题共5小题，共计分） 13. （1）计算： （2）解方程：． 14. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求这个二次函数的表达式． （2）求该二次函数的对称轴和顶点坐标． 15. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 16. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 四、解答题（本大题共3小题，共计24分） 18. 已知一次函数（k，b是常数且图象和反比例函数的图象相交于，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积： （3）直接写出不等式解集． 19. 已知：如图，在中，，，，、分别是、边上的中点，与相交于点． （1）求的长； （2）求的值． 20. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得m＋n＝1，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，，则：______，______． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，共计18分） 21. 某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ （3）设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $