精品解析：河南省洛阳市嵩县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

2021—2022学年第一学期期末考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小山为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝8m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）m A. B. C. D. 4. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 （ ） A. m≤2 B. m＜2 C. m≥0 D. m＜0 6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个根．则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　） 试验次数 100 200 500 800 1000 1200 实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330 A. 先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上 B. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6 C. 将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空 D. 从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同 9. 如图，矩形的边在x轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 的图象如图，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确结论的个数有（    ） A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 12. 一元二次方程的根为________． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）在中，，求的正弦值、余弦值和正切值． 17. 如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE交DB于点F，BD平分∠ABC，∠ADB＝90°． 求证：（1）△BFC∽△DFE； （2）AB＝8，BC＝3，求的值． 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长为，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，．（参考数据：，，，，，） （1）若设，用含的代数式表示与的长度． （2）请计算舰岛的高度（结果精确到）． 20. 某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分； （3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名； （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示） 21. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元/件） … 月销量（件） … 已知该运动服的进价为每件元，设售价为元/件． （1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_____元；②月销量是_____件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为元，，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点. （1）观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由. （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由. 23. 阅读材料一：抛物线是常见的几何图形，它可以这样定义：在平面上到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹．如果定点，定直线，则抛物线的解析式为． 阅读材料二：几何画板是平面几何中的常见作图软件，可以利用此软件准确的做出一些图形．下面是小明利用几何画板软件做图形的步骤： 第1步：在平面直角坐标系上找点和直线； 第2步：在直线上任找一点Q，连接，作的中垂线； 第3步：过Q点做直线L的垂线，交直线与点P． 任务： （1）判断点P的轨迹是不是抛物线，如果是，请直接写出点P轨迹的解析式，如果不是，请说明理由； （2）将点P的轨迹先向右平移2个单位，再将所得图象向下平移1个单位，得到的图象记为C，直接写出图象C所对应的解析式，并画出草图； （3）图象C上有两点M，N，对应的纵坐标分别是和0，A为图象C上点M、N（点M在点N的左边）之间的一点（包含点M、N），求点A的横坐标的变化范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年第一学期期末考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母不为零，和被开方数有意义的条件是被开方数为非负数即可． 【详解】解：∵代数式有意义, ∴， ∴， ∴且． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式有意义的条件，掌握分母不为0，被开方数有意义是解题关键． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则进行判断． 【详解】解：A：已经是最简结果，并不等于，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，正确，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：C ． 3. 如图，小山为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝8m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）m A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得到AB＝2DE，可得到答案． 【详解】解：∵D，E分别为CA，CB的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝16m， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 4. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9 【答案】D 【解析】 【详解】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 解：∵OB=3OB′， ∴OB′：OB=1：3， ∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3， ∴. 故选D 5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 （ ） A. m≤2 B. m＜2 C. m≥0 D. m＜0 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式求解． 【详解】解：将方程整理成一般形式为， 由题意得∆， ∴， 解得m≤2， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的三种情况由此求字母系数是解题的关键． 6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，再运用勾股定理分别求出AB、BC、AC的长度，然后再根据勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，然后再运用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图：BC2=， AB2=， BC2= ∴BC2+ AC2= AB2，即△ABC是直角三角形 ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用以及正弦的定义，判定△ABC是直角三角形成为解答本题的关键． 7. 已知是方程的一个根．则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，得，利用完全平方公式将变形，即可解答． 【详解】解：把代入方程，得， 等式两边同时除以得： ． 故选： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，分式的化简求值，完全平方公式，解题关键是明确题意，求出的值． 8. 某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　） 试验次数 100 200 500 800 1000 1200 实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330 A. 先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上 B. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6 C. 将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空 D. 从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其概率约为0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右， 如下树状图： 故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意； B．如下表： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意； C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意； D．如下树状图： 故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9. 如图，矩形的边在x轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作辅助线证明△∽△ON,列出比例式求出ON=, N=即可解题. 【详解】解：过点作⊥x轴于M,过点作⊥x轴于N, 由旋转可得,△∽△ON, ∵OC=6,OA=10, ∴ON::O=:OM:O=3：4：5, ∴ON=, N=, ∴的坐标为, 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,中等难度,做辅助线证明三角形相似是解题关键. 10. 二次函数 的图象如图，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确结论的个数有（    ） A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像先判断a、b、c的正负，再利用二次函数的性质及图像逐项判定即可. 【详解】∵抛物线开口向下，所以a<0，与y轴交于正半轴，所以c＞0， ∴ac<0， ∵b2≥0， ∴ ， ∴①符合题意； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c＜0， ∴2a+2b+2c＜0， ∵ =－1， ∴b=2a， ∴3b+2c＜0， ∴②符合题意； ∵抛物线的对称轴是直线x=－1， ∴y=a-b+c的值最大， 即把x=m代入得：y=am2+bm+c≤a-b+c， ∴am2+bm+b≤a， 即m（am+b）+b≤a， ∴③符合题意； ∵a+b+c＜0，a-b+c＞0， ∴（a+c+b）（a+c-b）＜0， 则（a+c）2-b2＜0， 即（a+c）2＜b2， 故④符合题意； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用，不等式的性质，平方差公式，要求有较好的运算能力．关键是数形结合，熟悉二次函数的图象和性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解，关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 一元二次方程的根为________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】将方程左边利用平方差公式因式分解，再分别令各一次因式等于零即可得到方程的根. 【详解】解： 或， 解得，． 13. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可解题． 【详解】解：设大正方形的边长为2，则GE=1，E到DC的距离d= 阴影区域的面积为： 大正方形的面积是： 小球最终停留在阴影区域上的概率是：． 故答案为： 【点睛】 本题考查几何概率，掌握相关知识熟悉概率公式是解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）在中，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形，勾股定理，熟知特殊角三角函数值和三角函数的定义是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的计算法则求解即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据正弦，余弦和正切的定义求解即可． 【详解】解：（1） （2）在中，由勾股定理，得 ∴． 17. 如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE交DB于点F，BD平分∠ABC，∠ADB＝90°． 求证：（1）△BFC∽△DFE； （2）AB＝8，BC＝3，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到，则∠EDF=∠EBF，再由角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，则∠EDF=∠CBF，再由∠EFD=∠CFB，即可证明△BFC∽△DFE； （2）由△BFC∽△DFE，即可得到，从而可以推出，则，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵E为AB的中点，∠ADB=90°， ∴， ∴∠EDF=∠EBF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠EDF=∠CBF， 又∵∠EFD=∠CFB， ∴△BFC∽△DFE； （2）∵△BFC∽△DFE， ∴， ∵AB=8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定． 18. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图并写出平移后坐标即可； （2）根据平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可得到坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，点的坐标为； 【小问2详解】 解：若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积． 19. 随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长为，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，．（参考数据：，，，，，） （1）若设，用含的代数式表示与的长度． （2）请计算舰岛的高度（结果精确到）． 【答案】（1），；（2）约为39． 【解析】 【分析】作于，设， （1）分别在、中，由正切定义解题； （2）在矩形中，分别解出，，，最后根据线段的和差解题． 【详解】解：作于，则四边形是矩形， （1）设， 中， ， 中， ； （2）设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 答：舰岛的高度约为39米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 20. 某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分； （3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有多少名； （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用列表或画树状图的方法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母，，，表示） 【答案】（1）200名；（2）见解析；（3）320名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据统计图及题意可由棋类的人数和百分比进行求解即可； （2）由（1）及题意可得“书画”和“戏曲”的人数，进而问题可求解； （3）根据题意可直接进行求解； （4）由题意可得出树状图，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由图可得： （名）； 答：本次随机调查抽取了200名学生． （2）由题意得： 选择“书画”课程的学生有（名），选择“戏曲”课程的学生有（名）， ∴补全条形统计图如图所示： （3）由题意及统计图可得： （名）； 答：全校选择“戏曲”课程的学生有320名． （4）画树状图如下： 由树状图，知共有12种等可能出现的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程的结果有2种，所以（恰好抽到“器乐”和“戏曲”课程）． 【点睛】本题主要考查概率及扇形统计图，熟练掌握概率的求法及扇形统计图是解题的关键． 21. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表： 售价（元/件） … 月销量（件） … 已知该运动服的进价为每件元，设售价为元/件． （1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是_____元；②月销量是_____件；（直接写出结果） （2）设销售该运动服的月利润为元，，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）时，当月的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润售价进价求出利润，运用待定系数法求出月销量即可； （2）根据月利润每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润． 【小问1详解】 解：①销售该运动服每件的利润是元； 故答案为：； ②设月销量与的关系式为， 由题意得， 解得， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵销售该运动服的月利润为元， ∴， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴时，有最大值，最大值为（元）． 22. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点. （1）观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由. （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由. 【答案】（1），，理由见解析； （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵点P，N是，的中点， ∴，，， ∵点P，M是，的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， 理由如下：由旋转知，， 在和中， ， ∴，， ∴，， 利用三角形的中位线得，，，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得， ， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23. 阅读材料一：抛物线是常见的几何图形，它可以这样定义：在平面上到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹．如果定点，定直线，则抛物线的解析式为． 阅读材料二：几何画板是平面几何中的常见作图软件，可以利用此软件准确的做出一些图形．下面是小明利用几何画板软件做图形的步骤： 第1步：在平面直角坐标系上找点和直线； 第2步：在直线上任找一点Q，连接，作的中垂线； 第3步：过Q点做直线L的垂线，交直线与点P． 任务： （1）判断点P的轨迹是不是抛物线，如果是，请直接写出点P轨迹的解析式，如果不是，请说明理由； （2）将点P的轨迹先向右平移2个单位，再将所得图象向下平移1个单位，得到的图象记为C，直接写出图象C所对应的解析式，并画出草图； （3）图象C上有两点M，N，对应的纵坐标分别是和0，A为图象C上点M、N（点M在点N的左边）之间的一点（包含点M、N），求点A的横坐标的变化范围． 【答案】（1）是， （2）（或），图见解析 （3）当点时，点A的横坐标的变化范围是；当点时，点A的横坐标的变化范围是 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质可得，结合直线L，点P的轨迹满足抛物线的定义，然后根据定义求得p的值即可解答； （2）根据抛物线的平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移．先得到图像C的解析式，然后根据该解析式的顶点坐标和与x轴的交点坐标，画出草图即可； （3）根据题意分别求得点M、N的坐标，再由“A为图象C上点M、N（之间的一点（包含点M、N）”，即可求得点A横坐标的变化范围． 【小问1详解】 解：点P的轨迹是抛物线， 如图，连接， 由题意可知，点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∵直线L， ∴点P的轨迹满足抛物线的定义：到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹， 此时， ∴， ∴点P轨迹的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点P轨迹的解析式为， ∵将点P的轨迹先向右平移2个单位，再将所得图象向下平移1个单位，得到的图象记为C， ∴图象C所对应的解析式为， ∴图象C的顶点坐标为，令，解得或， ∴图象C于x轴的交点为和， ∴草图如图所示： 【小问3详解】 解：当时，， 解得或， 当时，， 解得或， ∵点M在点N的左边， ∴；或， ∵A为图象C上点M、N之间的一点（包含点M、N）， ∴当点时，点A的横坐标的变化范围是；当点时，点A的横坐标的变化范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $