精品解析：河南省鹤壁市淇滨区2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 12. 用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 13. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 14. 已知二次函数，当时，y的最小值为________． 15. 在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 解方程及计算： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 19. 某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 20. 某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ （3）正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 21. 如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 22. 二次函数的图象经过点；当时，该函数有最小值为． （1）求该二次函数的解析式； （2）在坐标系中直接画出该二次函数图象和一次函数的图象； （3）直线与抛物线的交点为，，和直线的交点为，当时，直接写出的取值范围． 23. 利用一副三角尺进行操作富有数学趣味．在一次数学课外活动中，小美和小好两位同学用一副三角板玩起了数学游戏．已知中，， （1）如图1，小美过点C作于D，再将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别交线段于点E、F． ①小美猜想：若点E是的中点，则点F也是中点．你认为小美的猜想是_______；（填“正确”或“不正确”） ②小好猜想：在如图1所示旋转过程中，的值始终保持不变．若正确，请你求出该定值；若不正确，请说明理由． （2）如果点D是中点，将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别与线段交于点E，F，如图2所示．在图形旋转过程中，的值保持不变，请求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 若成立，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，点的坐标特征，由题意可得抛物线的顶点坐标为，再根据点的坐标特征即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴，， 故选：B． 5. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得： 方程是一元二次方程， 二次项系数， 综上所述，且． 故选：D． 6. 如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形草地的长、宽及修建道路的宽度，可得出种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形，再结合草坪的面积为1800平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形． 根据题意得：． 故选：D． 7. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 8. 如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据开口方向向上，对称轴在轴右侧以及抛物线与轴交于负半轴即可判断①，根据经过点，即可判断②，根据对称轴，即可判断③，根据，，即可判断④ 【详解】解：①∵抛物线开口向上，则，对称轴为，则，抛物线与轴交于负半轴，则 ∴ 故①正确， ②抛物线经过点， 故②正确 ③， 故③正确 ，， 故④正确， 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与各系数的关系，解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小． 10. 如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，理解题意是解决本题的关键． 把12分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：3． 12. 用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 一共有种等可能得结果，灯泡亮起来的有，，，，共种， ∴灯泡亮起来的概率是， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，y的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 15. 在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过F点作于M点，易得，根据折叠的性质有：，，，即有，，再证明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，问题随之得解． 【详解】过F点作于M点，如图， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质有：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质，并求出，是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 解方程及计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用分母有理化、二次根式的除法及二次根式的性质将原式化简，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）200，800 （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求解概率，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）由D艺术类的人数除以占比即可求解本次抽取调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比即可求解该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数； （2）先求出C文学类的人数，即可补全条形统计图； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生共有（人）， 该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人）， 故答案为：200，800； 【小问2详解】 解：C文学类的人数为：（人）， 则补全条形统计图为： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种. （恰好选中甲和乙）． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作AE⊥BC于点E，根据两个角对应相等可判定两个三角形相似； （2）由AC＝AB＝6，AE⊥BC ，得E是BC的中点，再证, ，再根据△ACE∽△BCD即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作AE⊥BC于点E， ∵BD⊥AC，AE⊥BC ∴ 又∵ ∴△ACE∽△BCD ∴E点即为所作． 【小问2详解】 如图所示，连接DE， ∵AC＝AB＝6，AE⊥BC ， ∴E是BC的中点 又∵BD⊥AC，DE＝2， ∴, ∵△ACE∽△BCD ∴，即， 解得： 即DC的长为． 【点睛】本题考查作图与相似变换．解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质． 19. 某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为． 【小问2详解】 延长交与点，可得， 由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为． 20. 某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ （3）正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，设台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，再代入点和，进行计算，即可作答． （2）因为实现平均每月10000元的销售利润，且结合进行列式计算，即可作答． （3）与（2）同理，得出，解得．因为每个台灯的利润率不得高于成本价的，所以，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． 【小问3详解】 解：不能．理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 21. 如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 22. 二次函数的图象经过点；当时，该函数有最小值为． （1）求该二次函数的解析式； （2）在坐标系中直接画出该二次函数图象和一次函数的图象； （3）直线与抛物线的交点为，，和直线的交点为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，与坐标轴的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键 （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式. （2）利用五点法画二次函数图象，求解与坐标轴的交点坐标，再画图即可； （3）根据题意得出点A、B关于对称轴对称，确定抛物线与交点的横坐标为0或3，然后画出草图，结合图形得出，即可求解. 【小问1详解】 解：∵当时，该函数有最小值为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：. 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为， 当时，，当时，， ∴抛物线经过点， 用五点法画图二次函数图象如下： ∵， 当，，当，则， ∴的图象与坐标轴的交点坐标为：，. 一次函数的图象所示. 【小问3详解】 解：∵直线与抛物线的交点为，， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 联立， 解得或， ∴抛物线与交点的横坐标为0或3， 当时，， ∵，如图所示： ∴， ∴即． 23. 利用一副三角尺进行操作富有数学趣味．在一次数学课外活动中，小美和小好两位同学用一副三角板玩起了数学游戏．已知中，， （1）如图1，小美过点C作于D，再将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别交线段于点E、F． ①小美猜想：若点E是的中点，则点F也是中点．你认为小美的猜想是_______；（填“正确”或“不正确”） ②小好猜想：在如图1所示旋转过程中，的值始终保持不变．若正确，请你求出该定值；若不正确，请说明理由． （2）如果点D是中点，将另一块三角板的直角顶点放在点D处，并绕着点D旋转，两条直角边分别与线段交于点E，F，如图2所示．在图形旋转过程中，的值保持不变，请求出此定值． 【答案】（1）①正确；②； （2） 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①证明，可得结论； ②证明可得结论； （2）如图2中，过点作于点，于点．证明可得结论． 【小问1详解】 解：①小美的猜想正确． 理由：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点； ②结论：． 理由：， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2中，过点作于点，于点． ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， 同法可证， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $